Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
^ikeite2ft’
Другими словами, если задана поляризация ei одного фотона, то поляризация второго е2 пропорциональна
4k 00 Aike\i• (9,6)
В нечетных состояниях системы A-,k совпадает с антисимметричным тензором а,*. При этом
е2е* atkeue\k = °>
т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны. В случае линейной поляризации это означает перпендикулярность их
') Другой способ вывода этих результатов — см. задачу 1 к § 69.
50
ФОТОН
[ГЛ. I
направлений, а в случае круговых поляризаций — противоположность направлений вращения.
Четное состояние с / = 0 описывается симметричным тензором, сводящимся к скаляру
sik = const • (dik — ntnk).
Поэтому из (9,6) получим e^ej. В случае линейной поляризации это означает параллельность их направлений, а в случае круговых поляризаций — снова противоположность направлений вращения. Последнее обстоятельство очевидно: при У = 0 во всяком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов фотонов на одно и то же направление к (проекции же на противоположные направления ki и кг, т. е. спиральности, при этом одинаковы).
ГЛАВА II
БОЗОНЫ
§ 10. Волновое уравнение для частиц со спином 0
В гл. 1 было показано, каким образом можно построить квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь при этом от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики. Полученная таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивистское описание частиц в квантовой теории.
Электромагнитное поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных состояний имеются состояния с произвольным числом частиц1). Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в релятивистской теории также и системы любых частиц. Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняется при их взаимодействии; сохранение же суммы масс, скажем, в системе электронов означает неизменность также и их числа. В релятивистской же механике закона сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя также и энергии покоя частиц). Поэтому число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля.
Адекватным математическим аппаратом для описания систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования (см. III, § 64, 65). В квантовом описании электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования выступает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) волновые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их рождения и уничтожения. Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции. Для его
’) Фактически, разумеется, число фотонов меняется лишь в результате различных процессов взаимодействия.
52
БОЗОН LI
[ГЛ. II
построения надо прежде всего знать вид волновой функции одной свободной частицы и уравнения, которому эта функция подчиняется.
Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и задача теории состоит в изучении этих взаимодействий. Но всякое взаимодействие сводится к столкновению, до и после которого систему можно рассматривать как совокупность свободных частиц. В § 1 отмечалось, что это — единственно измеримые объекты. Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как средством описания начальных и конечных состояний.
Мы начнем релятивистское описание свободных частиц со случая частиц со спином 0. Математическая простота этого случая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характерные черты такого одисания.
Состояние свободной частицы (без спина) может быть полностью определено заданием одного лишь ее'импульса р. При этом энергия е частицы *) е2 = р2 + т2 (где т — масса частицы), или в четырехмерном виде:
р2 = т2. (10,1)
Как известно, законы сохранения импульса и энергии связаны с однородностью пространства и времени, т. е. с симметрией по отношению к любому параллельному смещению 4-системы координат. В квантовом описании требование этой симметрии означает, что волновая функция частицы с определенным 4-им-пульсом при указанном преобразовании 4-координат может только умножаться на фазовый множитель (с равным единице модулем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная функция с линейным по 4-координатам показателем. Другими словами, волновая функция состояния свободной частицы с определенным 4-импульсом = (е, р) должна быть плоской волной:
const • e~ipx, рх — et — pr (10,2)
(выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе условен: он сделан в соответствии с нерелятивистским случаем).
Волновое уравнение должно иметь функции (10,2) в качестве частных решений при произвольном 4-векторе р, удовлетворяющем условию (10,1). Оно должно быть линейным как выражение принципа-суперпозиции: любая линейная комбинация функций (10,2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому тоже должна быть решением. Наконец, оно должно быть по воз-
