Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ
39
ограничивают выбор потенциалов следующими функциями:
А$т (к) = 6 (| к | - со) (Y/m + CnYlm),
Г 2 (7,10)
фщ/m (к) = б (1 к I — ©) СУ 1т,
ш "
где С — произвольная постоянная. Для фотона же магнитного типа такая добавка к А(м)(к) лишала бы его определенной четности, и поэтому при тех же условиях выбор (7,6) оказывается однозначным.
Вероятность того, что фотон с определенными моментом и четностью будет зарегистрирован движущимся в направлении п, лежащем в элементе телесного угла do, согласно (3,5) и (7,6) равна
w(n)do=--\\{;,l(n)\2do. (7,11)
Мы написали выражение для фотона ?-типа. Но поскольку J Y/m |2= | Y/m |2, распределения вероятностей ш(п) для фотонов обоих типов одинаковы.
Квадрат модуля | Y/m}2 не зависит от азимутального угла ф (множители e±imf в шаровых функциях сокращаются). Поэтому распределение вероятностей tw(n) симметрично относительно оси z. Далее, поскольку каждый из шаровых векторов обладает определенной четностью, квадраты их модулей четны по отношению к инверсии, т. е. по отношению к замене полярного угла 0—>-я — 0; это значит, что функция ау (0), будучи разложена по полиномам Лежандра, содержит полиномы лишь четного порядка. Определение коэффициентов такого разложения сводится к вычислению интегралов от произведений трех шаровых функций и дальнейшему суммированию по компонентам. То и другое производится по формулам, полученным в III, § 107—108, и приводит к следующему результату:
г1 Д??!г.|>+1)(' о' о")Ц -L о")х
х{; { ^2,(003 0). (7,12)
Приведем, наконец, выражения компонент шаровых векторов в виде разложений по шаровым функциям. При этом мы пользуемся «сферическими компонентами» вектора, определенными согласно III, § 107; компоненты вектора f:
40 фотон ггл. 1
Если свести «циркулярные орты»:
е<°) = /е(г), е( + 1)= — -^=г (е(*> +/е<»>), = (e(x> — ie(^>) (7,14)
(e(x, у, г) _ 0рХЫ 0Сей х, у, z), то
f=Z(-l)1_XUe<4 fx = (-l)I-xfe<-«* = feW. (7,15)
к
Сферические компоненты шаровых векторов выражаются с помощью З/'-символов через шарсные функции следующими формулами:
i-iru,(a=-Vi(i++i
+ "'^+1 (m + Jl -it -т)1')-!.»*!'
(-l)'t"+W'(V,A = -V?+T(mil _J (7.16)
(YS)l=VJ+T(i+‘1 _l
(<! + *, — X — m
Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из трех шаровых векторов имеет вид Y]m = аУ,-т, где а — один из трех векторов (7,3). Поэтому
Y/m= Z (*«' I а | /т) У/т-,
1т'
и задача сводится к нахождению матричных элементов векто-ров а относительно собственных функций орбитального момента. Согласно III (107,6) имеем
</m'KIM> = /(-l)/““-m'[ ^(IWaWi),
где /max — большее из чисел I и /. Поэтому достаточно знать отличные от нуля приведенные матричные элементы </|| а ||/>. Для них имеются формулы:
</- 1||л||/> = (/||л||/- 1 =
</||vn|u —1)=/(/— 1) V/-,
</-i||v„||/> = /(/ + 1)л/Т,
(/||[nVn]||/) = /V/(/+l)(2/ + l).
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА
41
§ 8. Поляризация фотона
Вектор поляризации е играет для фотона роль «спиновой части» волновой функции (с теми оговорками, которые были высказаны в § 6 по поводу понятия спина фотона).
Различные случаи, которые могут иметь место для поляризации фотона, ничем не отличаются от возможных типов поляризации классической электромагнитной волны (см. II, §48).
Произвольную поляризацию е можно представить в виде наложения двух выбранных каким-либо определенным образом взаимно ортогональных поляризаций е(1) и е(2) (е(1)е<2)* = 0). В разложении
е = е1е<1) + е2е<2> (8,1)
квадраты модулей коэффициентов е\ и е2 определяют вероятность того, что фотон имеет поляризацию е(1) или е<2).
В качестве последних можно выбрать две взаимно перпендикулярные линейные поляризации. Можно также разлагать произвольную поляризацию на две круговые с противоположными направлениями вращения. Векторы правой и левой круговой поляризации обозначим соответственно е(+1) и е<—в системе координат gri? с осью ? вдоль направления фотона n = к/о
е(+1) = — -^=г (е(?> + /е{Т1)), е<-1> = -±=г (е«) - ге^). (8,2)
Возможность двух различных поляризаций фотона (при заданном импульсе) означает, другими словами, что каждое собственное значение импульса двукратно вырождено. Это обстоятельство тесно связано с равенством массы фотона нулю.
Для свободно движущейся частицы с ненулевой массой всегда существует система покоя. Очевидно, что именно в этой системе отсчета выявляются собственные свойства симметрии частицы как таковой. При этом должна рассматриваться симметрия по отношению ко всем возможным поворотам вокруг центра (т. е. по отношению ко всей группе сферической симметрии). Характеристикой свойств симметрии частицы по отношению к этой группе является ее спин s, определяющий кратность вырождения (число 2s + 1 преобразующихся друг через друга различных волновых функций). В частности, частице с векторной (три компоненты) волновой функцией отвечает спин 1.
Для частицы же с равной нулю массой не существует системы покоя — в любой системе отсчета она движется со скоростью света. По отношению к такой частице всегда имеется выделенное направление в пространстве—направление вектора импульса к (ось ?). Ясно, что в таком случае отсутствует симметрия по от-
