Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
При независимых 1 и s такое вычисление осуществляется простым подсчетом числа способов, которыми можно по правилам векторной модели сложить моменты 1 и s так, чтобы получить нужное значение /. Для частицы со спином s 1 мы нашли бы таким образом (при заданном отличном от нуля значении /) три состояния со следующими значениями / и четности:
/ = /, р = (-1), + , = (_1)/+,;_/ = /±1> р = (-1),+ ,=(_1/.
*) Условимся определять четность состояния по действию оператора инверсии на полярной вектор, каковым является А (или соответствующий электрический вектор Е = г«А). Оно отличается по знаку от действия на аксиальный вектор Н = i[kA], поскольку инверсия не меняет направление такого вектора:
ЯН (к) = Н (- к).
34
ФОТОН
1ГЛ. 1
Если же / = 0, то получается всего одно состояние (с / = с четностью Р = +1.
В этом подсчете, однако, не учтено условие поперечности вектора А; все три его компоненты рассматривались как независимые. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть число состояний, соответствующих продольному вектору. Такой вектор можно написать в виде k<p(k), откуда ясно, что по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам его три компоненты эквивалентны всего одному скаляру ф1). Следовательно, можно сказать, что лишнее состояние, не совместимое с условием поперечности, соответствовало бы состоянию частицы со скалярной волновой функцией (спинор ранга 0), т. е. со «спином 0» 2). Момент / этого состояния совпадает поэтому с порядком входящих в ф сферических функций. Четность же этого состояния как состояния фотона определяется действием оператора инверсии на векторную функцию кф:
р (кф) = — (— к) ф (— к) = (— I)7 кф (к),
т. е. равна (—1 )Л Таким образом, из полученного выше числа состояний с четностью (—1 )> (двух при / ф 0 и одного при / = = 0) надо вычесть одно.
Окончательно мы приходим к результату, что при отличном от нуля моменте фотона / существуют одно четное и одно нечетное состояния. При } = 0 мы не получим вовсе никаких состояний. Это означает, что фотон вообще не может иметь равного нулю момента, так что / пробегает лишь значения 1, 2,
3, .. . Невозможность значения / = 0, впрочем, очевидна: волновая функция состояния с равным нулю моментом должна быть сферически-симметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны.
Принята определенная терминология для различных состояний фотона. Фотон в состоянии с моментом / и четностью ( —I)7 называют электрическим 2?-польным (или Е/-фотоном), а при четности (—1)/+! — магнитным 2!-польным (или Л1/-фотоном). Так, электрическому дигсольному фотону отвечает нечетное со-
’) Действительно, когда говорят о характере преобразования величины ' при вращении, речь идет о преобразовании в данной точке, т. е. при заданном к. При таком преобразовании ktp(k) вообще не меняется, т. е. ведет себя как скаляр.
2) Подчеркнем лишний раз, что здесь не имеется в виду состояние ка-
кой-либо реальной частицы. Производимый подсчет имеет формальный ха-
рактер и сводится, с математической точки зрения, к классификации всей
совокупности преобразующихся друг через друга величин по неприводимым
представлениям группы вращения.
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ
35
стояние с /=1, электрическому квадрупольному — четное состояние с / = 2, магнитному дипольному — четное состояние с /=1‘).
§ 7. Сферические волны фотонов
Определив возможные значения момента фотона, мы должны теперь найти соответствующие им волновые функции2).
Рассмотрим сначала формальную задачу: определить такие векторные функции, которые являлись бы собственными функциями операторов j2 и /2; при этом мы не предрешаем заранее, какие именно из этих функций входят в интересующие нас волновые функции фотона, и не учитываем условия поперечности.
Будем искать функции в импульсном представлении. Оператор координат в этом представлении г — idjdk (см. III (15,12)). Оператор же орбитального момента
l = [fkl = -i[k^.].
т. е. отличается от оператора момента в координатном представлении лишь заменой буквы г на к. Поэтому решение поставленной задачи в обоих представлениях формально одинаково.
Обозначим искомые собственные функции посредством Y/m и будем называть их шаровыми векторами. Они должны удовлетворять уравнениям
j2Y/m = /(/+l)Y/m, ?2Y/m = mY/m (7,1)
(ось г — заданное направление в пространстве). Покажем, что этим свойством обладает любая функция вида аУ/т, где а — какой-либо вектор, образованный с помощью единичного вектора п = к/со, a Yjm — обычные (скалярные) шаровые функции. Последние будем везде определять согласно III, § 28:
(7’2>
(0, ф — сферические углы, определяющие направление п)3).
*) Эти названия соответствуют терминологии классической теории излучения: мы увидим в дальнейшем (§ 46, 47), что излучение фотонов электрического и магнитного типов определяется соответствующими электрическими и магнитными моментами системы зарядов.
2) Этот вопрос был впервые рассмотрен Гайтлером (W. Heitler, 1936).
Излагаемая форма решения принадлежит В. Б. Берестецкому (1947).
3) Отметим для будущих ссылок значение функций при 0 = 0 (п — вдоль
