Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 18

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 244 >> Следующая

Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции; импульсы фотонов ki=—кг^к1). Волновую функцию системы двух фотонов (в импульсном представлении) можно представить в виде трехмерного тензора второго ранга Л,*(п), составленного билинейно из компонент векторных волновых функций обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответствует одному из фотонов (п — единичный вектор в направлении к). Попе-речность же каждого из фотонов выражается ортогональностью тензора Aik вектору п:
Взаимная перестановка фотонов означает перестановку индексов тензора Alk вместе с одновременным изменением знака п. Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то
Тензор Aik, вообще говоря, не симметричен по своим индексам. Разделим его на симметричную (s;*) и антисимметричную (а,*) части: Ат = sm + aih. Соотношению (9,2) (а также условиям ортогональности (9,1)) должна, очевидно, удовлетворять каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем
') Такая система отсчета существует всегда, за исключением случая двух фотонов, движущихся параллельно друг другу в одну и ту же сторону. Суммарный импульс к, + к2 и суммарная энергия (0i + юа таких фотонов связаны друг с другом таким же соотношением, как и для одного фотона, и потому не существует системы отсчета, в которой было бы k 1 кг : 0.
Задача
Решение. Компоненты тензора в новых осях (а, р = ±1) получаются проецированием тензора (8,9) на орты (8,2):
Autii = 0, А1кщ = 0.
(9,1)
Aik (— n) = Ам (п).
(9,2)
Sik (— п) = (п),
аа (— и) = — аа (п).
(9.3)
(9.4)
48
ФОТОН
[ГЛ. г
Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака компонент тензора второго ранга, но меняет знак п. Поэтому из
(9,3) видно, что волновая функция s»* симметрична по отношению к инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фотонов; волновая же функция а,* отвечает нечетным состояниям.
Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого выражаются через компоненты тензора согласно а, = где eiki — антисимметричный единичный тензор (см. II, § 6). Ортогональность тензора аы вектору п означает, что векторы а и п параллельны1). Поэтому можно-написать а = пср(п), где ср — скаляр; согласно (9,4) должно быть а(—п) = —а(п), а потому
ф(— п) = <р(п).
Это равенство означает, что скаляр <р может быть линейно построен из шаровых функций только четного пор'ядка L (включая порядок нуль).
Мы видим, что антисимметричный тензор aik по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам эквивалентен одному скаляру (ср. примеч. на с. 34). Сопоставив последнему «спин» 0, найдем, что момент состояния / = L. Таким образом, тензор соответствует нечетным состояниям системы фотонов с четным моментом /.
Обратимся к симметричному тензору s,*. Поскольку он четен по отношению к изменению знака п, ему отвечают четные состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компоненты stk выражаются через шаровые функции четного порядка L (включая L=0). Произвольный симметричный тензор второго ранга Stk сводится, как известно, к скаляру (su) и к симметричному тензору (s^) с равным нулю следом (s^ = 0).
Скаляру su приводится в соответствие «спин» 0, а потому момент отвечающих ему состояний / = L, т. е. четен. Тензору же s'ik соответствует «спин» 2 (см. III, § 57). Складывая по правилу сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным моментом» L, находим, что при заданном четном / ф 0 возможны три состояния (cL = /±2, /), а при нечетном 1 ф \ — два состояния (с L = J ± 1). Исключение составляет / = 0 с одним состоянием (L = 2) и / = 1 с одним состоянием (L = 2).
В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональности тензора S/* вектору п. Поэтому из полученного числа состояний надо вычесть число состояний, которым соответствует
‘) Имеем: а,* = и условие ортогональности дает
aiknk = eikiaink = Ina],=°-
§9)
СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ
49
симметричный тензор второго ранга, «параллельный» вектору п. Такой тензор (обозначим его s"ft) можно представить в виде
S'U = ЛА + ЛА>
где Ь — некоторый вектор. Согласно (9,3) этот вектор должен удовлетворять условию Ь(—п) = —Ь(п). Таким образом, ответственный за «лишние» состояния тензор s''k эквивалентен нечетному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться через шаровые функции только нечетных порядков L. Заметив также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для каждого четного момента /=^0 возможны два состояния (с L = =/ ± 1), а для каждого нечетного / — одно состояние (с L=J)\ особый случай представляет / = 0 с одним состоянием (L = 1).
Сведя вместе полученные результаты, получим следующую таблицу, указывающую число возможных четных и нечетных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой импульсов) для различных значений полного момента / Четные Нечетные
0 1 1
2* 7.7 <ад
26+1 1 -
(k — целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим, что при нечетных / отсутствуют нечетные состояния, а значение J == 1 вообще невозможно ‘).
Волновая функция системы двух фотонов Aik определяет корреляцию их поляризаций. Вероятность того, что два фотона одновременно имеют определенные поляризации ei и е2, пропорциональна
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed