Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Волновая функция (2,26) нормирована условием
+ (3,2)
Это есть нормировка на один фотон в объеме V = 1. Действительно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состоянии с данной волновой функцией1). В правой же стороне равенства (3,2) стоит энергия одного фотона.
Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравнения Максвелла. В данном случае (для потенциала А (г, t), удовлетворяющего условию (2,1)) это — волновое уравнение
«Волновые функции» фотона в общем случае произвольных стационарных состояний представляют собой комплексные решения этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя е~ш.
Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз, что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности пространственной локализации фотона — в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской кван-
*) Обратим внимание на то, что коэффициент 1/4я. в интеграле (3,2) в два раза больше обычного коэффициента 1/8я в (2,10). Эта разница связана, в конечном счете, с комплексностью векторов Ека, НЬа, в отличие
от эрмитовых операторов поля Е, Н.
КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
27
товой механике. Это связано с тем, что (как было указано в § 1) понятие координат фотона вообще не имеет физического смысла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще в конце следующего параграфа.
Компоненты разложения Фурье функции А(г, /) по координатам образуют волновую функцию фотона в импульсном представлении; обозначим ее А(к, () = А(к)е~ш. Так, для состояния с определенным импульсом к и поляризацией е(а) волновая функция импульсного представления дается просто коэффициентом при экспоненциальном множителе в (2,26):
___
Aka (к', а') = У4л -5= бк'кба'а. (3,3)
V2co
В соответствии с измеримостью импульса свободной частицы волновая функция импульсного представления имеет более глубокий физический смысл, чем функция координатного представления: она дает возможность вычислить вероятности шка различных значений импульса и поляризации фотона, находящегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам квантовой механики wka дается квадратом модулей коэффициентов разложения функции А (к') по волновым функциям состояний с определенными к и е(а):
Wka 00 I 2 Aka (fc/> «') А ОО Г
I k'a' I
(коэффициент пропорциональности зависит от способа нормировки функций). Подставив сюда (3,3), получим
Шка со I е<а,А (к) Р. (3,4)
После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность
того, что фотон имеет импульс к:
Шк <*>| А (к) |2. (3,5)
§ 4. Калибровочная инвариантность
Как известно, выбор потенциалов поля в классической электродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала Лц можно подвергнуть произвольному калибровочному (или градиентному) преобразованию вида
Лц-¦ Лц + <ЭцХ> (4,1)
где х— произвольная функция координат и времени (см. II, § 18).
Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями, не меняющими вида потенциала (его пропорциональности множителю ехр(—ik^)), неоднозначность сводится к возможности прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора, пропорционального 4-вектору №.
28
ФОТОН
[ГЛ. I
Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в квантовой теории — применительно к операторам поля или к волновым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потенциалов, надо писать вместо (2,17) аналогичное разложение для операторного 4-потейциала
А* = Z (cka-^ka + Cka^4ka)> (4.2)
ka
где волновые функции Л?а — 4-векторы вида
Лк — У 4л" =
у 2©
или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индексы:
Ак — У4л - ,f— e~ikx, ее* — — 1. (4,3)
у 2©
Здесь 4-импульс № = (а, к) (так что kx = a)t— kr), а е — единичный 4-вектор поляризации1).
Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не меняющими зависимости функции (4,3) от координат и времени, то они будут состоять в замене
е^->е^ + %к,^ (4,4)
где % = %{№) — произвольная функция. Поперечность поляризации означает, что всегда возможна такая калибровка, при которой 4-вектор е имеет вид
& = (0, е), ек = 0 (4,5)
(такую калибровку мы будем называть трехмерно поперечной). В инвариантном четырехмерном виде это требование записывается в виде условия четырехмерной поперечности
ek = 0. (4,6)
Обратим внимание на то, что это условие (как и нормировочное условие ее* = —1) не нарушается преобразованием (4,4)' в силу того, что k2 = 0. С другой стороны, равенство нулю квадрата 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы. Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариантностью
') Выражение (4,3) не имеет вполне релятивистски-ковариантного (4-векторного) вида, что связано с неинвариантным характером принятой нами нормировки на конечный объем V = 1. Это, однако, не имеет принципиального значения и вполне компенсируется удобствами такого способа нормировки. Мы увидим в дальнейшем, что им обеспечивается простое и автоматическое получение реальных физических величин в должной инвариантной форме.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
29
