Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 14

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 244 >> Следующая

оси г):
V'T"6'^ V’2*)
36 ФОТОН (ГЛ. 1
Для этого вспомним правило коммутации III (29,4):
{^<> ak}~ = ieiklal-Правую сторону этого равенства можно написать в виде (—Sidk), где s — оператор спина | (воздействие этого оператора на векторную функцию как раз определяется равенством = —-—ieikiar, см. III, § 57, задача 2). Поэтому имеем
^iak—aJi = —
Воспользовавшись этим равенством, найдем
Ifik = (h + si) a* — aJi-
Следовательно,
P (аУ ,n) = аРУ lm, [г (аУ jm) = a lzY ,m.
Но шаровая функция Yjm есть собственная функция операторов I2 и 1г, соответствующая собственным значениям этих величин /(/+1) и т> Так чт0 мы приходим к равенствам (7,1).
Мы получим три существенно различных типа шаровых векторов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векторов *):
Vn fnV„]
V/(/ + u ’ V/ (у -н i)
n. (7,3)
Таким образом, определяем шаровые векторы следующим образом:
У(э) =-----!----VY Р — (— п'-
"» V/17+ТГ " /т’ К
Y/m = [nY/mj. Р — ( l/+1;
Y/m = nY/m, P=.(-iy.
Рядом с каждым вектором указана его четность Р. Шаровыг
векторы трех типов взаимно ортогональны, причем Y}m — продо-
лен, а Y/m и Y/m — поперечны по отношению к п.
*) Оператор Vn^|k|Vit и действует на функции, зависящие только от направления п. Он имеет (в сферических координатах) всего две составляющие:
7 =(Л___________!___0Д
п V (30 ’ sin 0 dqp /’
Оператор, обозначенный ниже посредством Дп> — угловая часть оператора Лапласа:
_____1 д fi _д_ I д2
sin0 дв S П 50 sin20 dip2
§71
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ
37
Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные шаровые функции. При этом Y/“l выражаются через шаровые функции лишь одного порядка / = /, a Y/m и Y/^ — через шаровые функции порядков / = / ± 1. Это обстоятельство очевидно: достаточно сравнить указанные в (7,4) четности шаровых векторов с четностью (—1);+1 векторного поля, выраженной через по^ рядок содержащихся в нем шаровых функций.
Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогональны и нормированы согласно
$Y/mY = 6, Д.П.» (7>5)
Для векторов Y/m это очевидно в силу условия нормировки шаровых функций Yjm. Для векторов Y/m нормировочный интеграл
\ V Y.V Y* do = - тг [ Y*AY. do,
1 (l + 1) J n lm П jm / (/ + 1) J I rn a im ’
и, поскольку AnY/m = — J(} + 1) Y/m, то мы приходим к (7,5). К такому же интегралу сводится нормировка векторов Y/m.
Заметим, что к шаровым векторам (7,4) можно было бы прийти и без произведенной выше прямой проверки уравнений
(7,1) — уже на основании общих соображений о трансформационных свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыдущем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида пф отвечает значению j момента, совпадающему с порядком шаровых функций, входящих в ф; если положить просто Ф = У/m, то функция Пф будет соответствовать также и определенному значению т проекции момента. Таким образом, мы сразу приходим к шаровым векторам Y/m. Но изложенные в § 6 рассуждения о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить множитель п в произведении пф вектором Vn или [nV„]; таким образом, мы получим шаровые векторы двух других типов.
’ Вернемся к волновым функциям фотона. Для фотона электрического типа (Ej) вектор А (к) должен обладать четностью (—1 у. Такую четность имеют шаровые векторы Y/m и Y/m; из них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности. Для фотона магнитного типа (Mj) вектор А (к) должен иметь четность (—1)/+1; такую четность имеет только шаровой вектор Y/m. Поэтому волновые функции фотона с определенным моментом } и его проекций т (и энергией ю)
Кш (к)= ~*7Г МI к I — (*>) Y/m (п),
(7,6)
38
ФОТОН
[ГЛ. S
причем в качестве Y/т надо писать Y/™ или Y/m соответственно в случае фотона электрического или магнитного типа; заданное значение энергии учитывается множителем б(|к| —ю).
Функции (7,6) нормированы условием
J ш>'А'аТт, (k) АЧт (к) d3k = соб{(о' - со) ЬиАтт,. (7,7)
Для волновых функций координатного представления условие (7,7) эквивалентно условию1)
-L S Кг™- WE.» м + «да <г> н.» <г»л=“а<“' - “>а/А™-
(7.8)
Действительно, интеграл в левой стороне равенства, выраженный через потенциалы, имеет вид
i 5 А№ (г) Кт (Г) ®'® d*X-
Сюда надо подставить
к1т(г) = \к1т
f ж (7’9)
A;rm,(r) = \A;rm,(k')e-^^r.
После этого интегрирование по d3x дает б-функцию (2я)3б(к'—
— к), которая устраняется интегрированием поd3k', и интеграл приводится к виду (7,7).
До сих пор мы подразумевали поперечную калибровку потенциалов, при которой скалярный потенциал Ф = 0. В различных применениях, однако, могут оказаться более удобными другие способы калибровки сферической волны.
Допустимое преобразование потенциалов в импульсном представлении состоит в замене
А—>- А + п/ (к), Ф-*Ф-И(к),
где /(к) — произвольная функция. Выберем ее в данном случае таким образом, чтобы новые потенциалы выражались через те же шаровые функции и чтобы о^и по-прежнему имели определенную четность. Для фотона электрического типа эти условия
*) Это условие того же типа, что и (2,22). . Появление множителя в (со'—а) в правой стороне равенства связано с тем, что здесь рассматривается поле (сферическая волна) во всем бесконечном пространстве вместо поля в конечном объеме V — 1.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed