Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
24
ФОТОН
[ГЛ. в
чисел Л^к«; обозначим ее Ф(Л^к«, /). Операторы поля (2,19) не зависят явно от времени. Это соответствует обычному в нере-лятивистской квантовой механике шредингеровскому представлению операторов. Зависящим же от времени является при этом состояние системы Ф(Л^ка, /), причем эта зависимость определяется уравнением Шредингера
(42-= ЙФ.
Такое описание поля по существу релятивистски инвариантно, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Максвелла. Но эта инвариантность не выявлена явно, — прежде всего потому, что пространственные координаты и время входят в описание крайне несимметричным образом.
В релятивистской теории целесообразно придать описанию внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо воспользоваться так называемым гейзенберговским представлением, в котором явная временная зависимость перенесена на сами операторы (см. III, § 13). Тогда время и координаты будут равноправным образом входить в выражения для операторов поля, а состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполнения.
Для оператора А переход к гейзенберговскому представлению сводится к замене в каждом члене суммы в (2,17), (2,18) множителя егкг на ё (кг~т. е. к тому, чтобы под Aka понимать зависящие от времени функции
Aka —- дАл g-f («f-kr^ (2,26)
V2a>
В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гейзенберговского оператора для перехода i-*~f должен содержать множитель ехр{—i(Et — Ef)t), где ?, и Ef—энергии начального и конечного состояний (см. III, § 13). Для перехода с уменьшением или увеличением Nk на 1 этот множитель сводится соответственно к е~ш или еш. Это требование будет соблюдено в результате указанной замены.
В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного поля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзенберговское представление операторов.
§ 3. Фотоны
Обратимся к обсуждению полученных формул квантования поля.
Прежде всего, формула (2,12) для энергии поля обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии
§3]
ФОТОНЫ
25
поля соответствует равенство нулю квантовых чисел Nkавсех осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» ш/2. При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории.
Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энергии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса поля *)
Е= Z^kaCO, P=I>kak. (3,1)
ka ka
Эти формулы позволяют ввести основное для всей квантовой электродинамики понятие о световых квантах, или фотонах2). Именно, мы можем рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию (о(=/ш) и импульс к(=пЙ(о/с). Соотношение между энергией и импульсом фотона — такое, каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения N ka приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами к и поляризациями е(а>. Свойство поляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в § 6).
Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе математический формализм находится в полном соответствии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это есть не что иное, как аппарат так называемого вторичного квантования в применении к системе фотонов3). В этом методе (см. III, § 64) роль независимых переменных играют числа заполнения состояний, а операторы Действуют на функции этих чисел. При этом основную роль играют операторы «уничтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или
') Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым образом, условившись понимать произведения операторов в (2,10) как «нормальные», т. е. такие, в которых операторы ?+ располагаются всегда левее операторов 6. Формула (2,23) примет тогда вид
#= Z (“®ka®ka)-
ka
2) Представление о фотонах было впервые введено Эйнштейном (A. Einstein, 1905).
3) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был развит Дираком (Р. А. М. Dirac, 1927).
26
ФОТОН
[ГЛ с
увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно такими операторами и являются ?ка, б?а: оператор 6ка уничтожает фотон в состоянии ka, а 6?а — рождает фотон в этом состоянии.
Правило коммутации (2,16) соответствует случаю частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны являются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допустимое число фотонов в любом состоянии может быть произвольным (мы вернемся еще в § 5 к роли этого обстоятельства).
Плоские волны Ака (2,26), фигурирующие в операторе А (2,17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фотонов, обладающих определенными импульсами к и поляризациями е(а). Такая трактовка соответствует разложению ip-onepaTopa в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования (в отличие от последнего, однако, в разложение (2,17) входят как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц; смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. § 12).
