Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 20

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 244 >> Следующая

!) Обозначим энергию отдельной частицы е в ,отличие от энергии Е системы частиц.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ О
53
можности более низкого порядка; более высокий порядок внес бы лишние решения.
Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она покоится. Если спин частицы есть s, то ее волновая функция в системе покоя является трехмерным спинором ранга 2s. Для описания же частицы в произвольной системе отсчета ее волновая функция должна быть выражена в виде четырехмерных величин.
Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмерным скаляром. Такой скаляр, однако, может иметь различное четырехмерное «происхождение»: это может быть четырехмерный скаляр г{>, но может быть и четвертая компонента 4-вектора (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от нуля лишь составляющая ifo *).
Для свободной частицы единственный оператор, который может войти в волновое уравнение, — это оператор 4-импульса р. Его компонентами являются операторы дифференцирования по координатам и времени:
^ = /^=(/-1-, -*V). (10,3)
Волновое уравнение должно представлять собой дифференциальную связь между величинами г]з и осуществляемую с помощью оператора р. Эта связь должна, разумеется, выражаться релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми являются
Р*% = tn$, (Ю.4)
где т — размерная постоянная, характеризующая частицу2).
Подставив фц из первого уравнения во второе, получим
(р2 — т2) г|> = 0 (10,5)
(О. Klein, В. А. Фок, 1926; W. Gordon, 1927). В раскрытом виде это уравнение записывается как
— ==(—^--(-д)г1) = т\ (10,6)
Подставив в него г|) в виде плоской волны (10,2), получим р2 == т2, откуда видно, что т — масса частицы. Отметим, что вид уравнения (10,5), конечно, заранее ясен из того, что р2 —
') Либо, аналогичным образом, временная компонента 4-тензора более высокого ранга; этот случай, однако, привел бы к уравнениям более высокого порядка.
г) Постоянные т введены в (10,4) так, что фц и т|> имеют одинаковую
размерность. Вводить в этих двух уравнениях различные постоянные т,
и тз было бы бессмысленно, так как их всегда можно было бы сделать одинаковыми путем переопределения \|з или "фр..
54
БОЗОНЫ
[ГД. It
единственный скалярный оператор, который можно составить с помощью р (по этой причине такому же уравнению удовлетворяет каждая из компонент волновой функции частицы с любым спином — это мы неоднократно увидим в дальнейшем).
Таким образом, частица со спином 0 описывается по существу всего одним (четырехмерным) скаляром ф, подчиняющимся уравнению второго порядка (10,5). В уравнениях же первого порядка (10,4) роль волновой функции играет совокупность величин г|) и причем 4-вектор сводится к 4-градиенту скаляра г|). В системе покоя волновая функция частицы не зависит от координат (пространственных) и поэтому пространственные компоненты 4-вектора обращаются, как и должно быть, в нуль.
Для проведения вторичного квантования полезно выразить энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству от некоторых билинейных (по ф и г|)*) комбинаций, представляющих собой как бы пространственную плотность этих величин. Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса Т^, соответствующий уравнению (10,5). С помощью этого тензора закон сохранения энергии и импульса выражается уравнением
= 0. (10,7)
Согласно общим правилам теории поля (см. II, § 32), напишем вариационный принцип, следствием которого являлось бы уравнение (10.5). Такой принцип должен заключаться в требовании минимальности «интеграла действия»
от некоторого вещественного 4-скаляра L — плотности лагранже-вой функции поля ’). С помощью скаляра г|) (и оператора д^) можно составить вещественное билинейное скалярное выражение вида
L = <VI>* ¦ д'Ч!) — (10,9)
где пг — размерная постоянная. Рассматривая г|) и г])* как независимые переменные, описывающие поле («обобщенные координаты» поля у), легко видеть, что уравнения,Лагранжа
5 dL dL (Ю.Ю)
дхц dq
•) Соответствующий вторично квантованный оператор Г называют лагранжианом поля. Для упрощения терминологии будем пользоваться этим термином как для «квантованной», так и для «неквантованной» плотности лаг-ранжевой функции.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ О
55
{qtfl == действительно совпадают с уравнениями (10,5) для \)з и ijj*, причем т — масса частицы. Отметим также, что выражение (10,9) написано с таким общим знаком, чтобы квадрат производной по времени, \d^/dt\2, входил в L со знаком плюс; в противном случае действие не могло бы иметь минимума (ср. II, § 27). Выбор же общего числового коэффициента в L условен (и отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ф).
Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле
(эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечи вается вещественностью L). В частности,
т. е. Тоо и Т,0 играют роль плотности энергии и импульса. Отметим, что величина Т00 существенно положительна.
Формулой (10,13) можно воспользоваться для нормировки волновой функции. Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме V = 1, запишется в виде
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed