Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
42
ФОТОН
[ГЛ. I
ношению ко всей группе трехмерных вращений, и можно говорить лишь об аксиальной симметрии относительно выделенной оси.
При аксиальной симметрии сохраняется лишь спиральность частицы — проекция момента на ось ?; обозначим ее X1). Если потребовать также симметрии по отношению к отражениям в плоскостях, проходящих через ось ?;, то состояния, различающиеся знаком X, будут взаимно вырождены; при X?=Q мы будем иметь, следовательно, двукратное вырождение2). Состояние фотона с определенным импульсом и соответствует одному из типов таких двукратно вырожденных состояний. Оно описывается «спиновой» волновой функцией, представляющей собой вектор е в плоскости gri; две компоненты этого вектора преобразуются друг через друга при всех поворотах вокруг оси ? и при отражениях в плоскостях, проходящих через эту ось.
Различные случаи поляризации фотона находятся в определенном соответствии с возможными значениями его спирально-сти. Это соответствие можно установить по формулам III (57,9), связывающим компоненты векторной волновой функции с компонентами эквивалентного ей спинора второго ранга3). Проекциям Х = +1 или —1 соответствуют векторы е с отличной от нуля лишь компонентой — ie4 или + ie^, т. е. соответственно е = е(+1> или е = Другими словами, значения Х = -|-1 и —1 соответствуют правой и левой круговой поляризации фотона (в § 16 этот же результат будет получен путем прямого вычисления собственных функций оператора проекции спина).
Таким образом, проекция момента фотона на направление его движения может иметь лишь два значения (±1); значение О не возможно.
Состояние фотона с определенными импульсом и поляризацией есть чистое состояние (в смысле, разъясненном в III, § 14); оно описывается волновой функцией и соответствует полному квантовомеханическому описанию состояния частицы (фотона). Возможны также и «смешанные» состояния фотона, соответствующие менее полному описанию, осуществляемому не волновой функцией, а лишь матрицей плотности.
Рассмотрим состояние фотона, смешанное по его поляризации, но соответствующее определенному значению импульса к. В таком состоянии (его называют состоянием частичной поляризации) существует «координатная» волновая функция.
') В отличие от проекции m момента на заданное направление (ось г) в пространстве, о которой шла речь в предыдущем параграфе.
2) Отметим, что таким же образом классифицируются электронные термы двухатомной молекулы (см. III, § 78).
3) Напомним, что компонентам волновой функции как амплитудам вероятности различных значений проекции момента частицы (о которых здесь и идет речь) отвечают контравариантные компоненты спинора.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА
43
Поляризационная матрица плотности фотона представляет собой тензор второго ранга рар в плоскости, перпендикулярной вектору п (плоскость |т|; индексы а, р пробегают всего два значения). Этот тензор эрмитов:
Р<20 = Рра>
и нормирован условием
раа = рп + р22=1- (8>4>
В силу (8,3) диагональные компоненты рп и р22 вещественны, причем определяются одна по другой условием (8,4). Компонента же pi2 комплексна, а р21 == Pj2. Всего, следовательно, матрица плотности характеризуется тремя вещественными параметрами.
Если известна поляризационная матрица плотности, то можно найти вероятность того, что фотон имеет любую определенную поляризацию е. Эта вероятность определяется «проекцией» тензора рар на направление вектора е, т. е. величиной
РаМ- <8,5)
Так, компоненты рп и р22 представляют собой вероятности линейных поляризаций вдоль осей ? и г). Проецирование на векторы (8,2) дает вероятности двух круговых поляризаций:
у[1 ±г(р!2 — Pai)]. (8,6)
Свойства тензора р„е по форме и по существу совпадают со свойствами тензора Jaр, описывающего частично поляризованный свет в классической теории (см. II, § 50). Напомним здесь некоторые из этих свойств.
В случае чистого состояния с определенной поляризацией е тензор рар сводится к произведениям компонент вектора е:
Pag = еае(,- (8,7)
При этом определитель |pag| =0. В обратном случае неполяри-зованного фотона все направления поляризации равновероятны, т. е.
Pap = бар/2, (8,00
при ЭТОМ | Po-р | = 1/4.
В общем случае частичную поляризацию удобно описывать с помощью трех вещественных параметров Стокса |1( |2, ^з1), через которые матрица плотности выражается в виде
рч=4(ь!1 Mg1 )• »*>
') Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси |!
44
ФОТОН
[ГЛ. I
Все три параметра пробегают значения между —1 и +1. В не-^шляризованном состоянии gi = |2 = 1з = 0; для полностью поляризованного фотона Ц + Щ -[- Щ = 1.
Параметр |3 характеризует линейную поляризацию вдоль осей g или т]; вероятность линейной поляризации фотона вдоль ©тих осей равна соответственно (l+g3)/2 или (1—|з)/2. Значения = —(— 1 или —1 отвечают поэтому полной поляризации в этих направлениях.
Параметр gi характеризует линейную поляризацию вдоль направлений, составляющих угол ф = я/4 или ф = —я/4 с осью ?. Вероятность линейной поляризации фотона в этих направлениях равна соответственно (l-)-gi)/2 или (1—ii)/2; в этом легко убедиться, спроецировав тензор рар на направления
