Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
с = (1, ± IJ/V2.
Наконец, параметр |2 есть степень круговой поляризации; согласно (8,6) вероятность того, что фотон имеет правую или левую круговую поляризацию, равна (1 + g2)/2 или (1 — g2)/2. Поскольку две поляризации отвечают спиральностям X = ±1, Чо ясно, что в общем случае ?2 есть среднее значение спираль-нэсти фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с поляризацией е
|2 = {[ее*]п. (8,10)
Напомним (см. II, § 50), что по отношению к преобразованиям Лоренца инвариантными величинами являются |2 и
Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении параметров Стокса по отношению к операции обращения времени. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому преобразованию. Это свойство не зависит, очевидно, от природы поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться в ]ием хотя бы в случае чистого состояния. Обращению времени
отвечает в квантовой механике замена волновой функции ее
комплексно-сопряженной (см. III, § 18). Для плоскополяризо-ранной волны это означает замену *)
к-> — к, е — е\ (8,11)
’) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение времени меняет знак векторного потенциала электромагнитного поля. Скалярный же потенциал не меняет знака; поэтому для 4-вектора е обращение времени есть преобразование
(ео> е) -> (ео> - е*)-
(8, Па)
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА
45
При таком преобразовании симметричная часть матрицы плотности
T(eA + efi<)’
а тем самым и параметры gi и ?3 не меняются. Неизменность же параметра ?2 при том же преобразовании видна «з (8,10); она очевидна также уже из смысла ?2 как среднего значения спиральности. Действительно, спиральность есть проекция момента j на направление п, т. е. произведение jn; обращение же времени меняет знак обоих этих векторов.
В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плотности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде некоторого 4-тензора p^v. Для поляризованного фотона, описываемого 4-вектором еи, этот тензор естественно определить как
Р^=л<- (8-12)
При трехмерно поперечной калибровке е = (0, е), если одна из пространственных осей координат выбрана вдоль п, отличные от нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8,7).
Для неполяризованного фотона трехмерно поперечной калибровке отвечает тензор p^v с компонентами
= Ро/ = Р/о = Роо = 0 (8,13)
(если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся к (8.8)). Непосредственно использовать тензор p^v в таком трехмерном виде, однако, неудобно. Но мы можем воспользоваться калибровочным преобразованием; для матрицы плотно-
сти это есть преобразование вида
Puv -*¦ Puv + Xn&v + (8,14)
где — произвольные функции. Положив
______
4<в ’ И( 4сй2 •
получим вместо (8,13) простое четырехмерное выражение
Puv= gnv/2. (8,15)
Четырехмерное представление матрицы плотности частично поляризованного фотона легко получить, переписав предварительно двумерный тензор (8,9) в трехмерном виде:
¦ р»=т +W)+тг ми21+w) -
- W - W)+-т М'Ч" - Ч”).
46
ФОТОН
[ГЛ. II
где е<2) — единичные векторы, орты осей | и т). Требуемое обобщение достигается заменой этих 3-векторов пространственно-подобными единичными вещественными 4-векторами еW, е(2), ортогональными друг другу и 4-импульсу фотона k:
e(I)2 = e(2)2=_l; e(l)g(2) = 0j e(l)k = e(2)k = Q' (8,16)
В трехмерно поперечной калибровке: е(1) = (0, е(1)), е<2) = = (0, е(2)). Таким образом, четырехмерная матрица плотности фотона
Удобство того или иного фактического выбора 4-векторов е(1), е(2> зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи.
Надо иметь в виду, что условия (8,16) не фиксируют выбора еМ и е(2) однозначным образом. Если какой-либо 4-вектор е^ удовлетворяет этим условиям, то им же будет удовлетворять и любой 4-вектор вида + %k^ (в силу того, что k2 = 0). Эта неоднозначность связана с калибровочной неоднозначностью матрицы плотности.
Первый член в (8,17) отвечает неполяризованному состоянию. Поэтому его можно было бы заменить, согласно (8,15), на —gW2. Такая замена снова эквивалентна некоторому калибровочному преобразованию.
При оперировании с 4-тензорами вида (8,17), разложенными по двум независимым 4-векторам, удобно применять следующий формальный прием. Записав тензор (8,17) в виде
Как всякую эрмитову двухрядную матрицу, ее можно разложить по четырем независимым двухрядным матрицам — матрицам Паули ах, Оу, ог и единичной матрице 1. Такое разложение имеет вид
3
Pjlv = aS_iP(ab,e[la4b).
представим коэффициенты р(а6) двухрядной матрицей
р = |(1 + 6о), l=(lut2,h),
(8,18)
в чем легко убедиться прямым сравнением с (8,17), использовав известные выражения матриц Паули (18,5) (объединение трех
СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ
47
величин ?ь ?2, ?з в «вектор» 1 имеет, конечно, чисто формальный смысл, преследующий лишь цель удобства записи).
Написать матрицу плотности фотона в представлении, в котором «осями» координат являются циркулярные орты (8,2).
§ 9. Система двух фотонов
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 6, позволяют произвести подсчет числа возможных состояний и в более сложном случае системы двух фотонов (Л, Ландау, 1948).
