Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Но в чисто математическом отношении поворотом является также и одновременное изменение знака всех четырех координат (четырехмерная инверсия): определитель этого преобразования равен +1, как и определители всякого другого поворотного преобразования. При этом ось времени переводится из одной полости светового конуса в другую. Хотя это.обстоятельство и означает физическую неосуществимость такого преобразования (как преобразования системы отсчета), но в математическом отношении отличие сводится лишь к тому, что (в силу псевдоевклидо-вости метрики) такой поворот не может быть произведен без того, чтобы не допустить попутно комплексное преобразование координат.
Естественно полагать, что это отличие должно быть несущественно, когда речь идет о четырехмерной инвариантности. Тогда всякое выражение, инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, должно быть инвариантно и по отношению к 4-инверсии. Точная формулировка этого требования в применении к скалярному ^-оператору будет дана в § 13. Но сразу же отметим, что оно во всяком случае приводит к необходимости одновременного присутствия в ^-операторах членов с обоими знаками перед е в показателях, поскольку замена —t как раз меняет этот знак.
Вернемся к выражениям (11,2) и установим перестановочные соотношения между операторами ар, ар (и 5Р, Вр). В случае фотонов это было сделано (для операторов 6 ?+) исходя из
аналогии с осцилляторами, т. е. по существу из свойств электромагнитного поля в классическом пределе. Теперь такой аналогии нет. Для установления правил коммутации (Бозе или Ферми) между операторами мы можем руководствоваться лишь видом построенного из этих операторов гамильтониана.
*) Отметим, что совокупность всех трехмерных (пространственных) поворотов составляет сама по себе группу, входящую в группу Лоренца в качестве подгруппы. Совокупность же преобразований Лоренца сама по себе не составляет группы: результат последовательных преобразований Лоренца может сводиться к чисто пространственному повороту,
5 III ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 59
Последний получается (см. III, § 64) подстановкой tjj и tj>+ вместо tj? и tjj* в интеграл ^ ТжсРх *). Таким образом найдем
Н= Ze(dJdp + 5pfiJ). (11,3)
р
Легко видеть, что разумный результат для собственных значений этого гамильтониана получается, лишь если операторы удовлетворяют правилам коммутации Бозе:
k., <2р+}_ = {5Р, bt}_ = 1 (11,4)
(все другие пары операторов коммутативны; в том числе коммутативны все операторы частиц йр, а+ со всеми операторами
античастиц bv, bp). Действительно, в таком случае
// = У. в {йр йр + bp bp + 1 )¦ р
Собственные значения произведений йрйр и ЬрЬр равны положительным целым числам N„ и Np— числам частиц и античастиц. Бесконечную же аддитивную постоянную ? е («энергия вакуума») можно снова просто опустить:
E=Ze(Np + Np) ¦ (11,5)
р
(ср. формулу (3,1) и примечание к ней). Это выражение существенно положительно и соответствует представлению о двух родах реально существующих частиц. Аналогичным образом для полного импульса системы частиц получим
p = ?p(Wp + tfp). (п,б)
р
Если бы мы приняли вместо (11,4) перестановочные соотношения Ферми (антикоммутаторы вместо коммутаторов), то полу-
чили бы
Н = X е(йрйр — bpbp + О р
и вместо формулы (11,5)—физически бессмысленное выражение X e(./Vp — ./Vp). Это выражение не является положительно определенным и поэтому не может представлять собой энергию системы свободных частиц.
') В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный оператор ф+ слева от г|з. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка и г|з привела бы лишь к перестановке равноправных операторов dp и 6р. Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться одного правила.
60
БОЗОНЫ
[ГЛ. ч
Таким образом, частицы со спином 0 являются бозонами.
Далее, рассмотрим интеграл Q (10,19). Заменив в /° функции -ф и -ф* операторами ¦»? и и произведя интегрирование, получим
Q = Z Up &р ~ ЬРЮ = Z (йр &Р - 5рйр - 1). (11,7)
р р
Собственные значения этого оператора (за вычетом несущественной аддитивной постоянной ? 1);'
Q=Z(tfp-tfp), (11,8)
р
т. е. равны разностям полных чисел частиц и античастиц.
До тех пор, пока мы рассматриваем свободные частицы, отвлекаясь от-всякого взаимодействия между ними, смысл закона сохранения величины Q (как, впрочем, и законов сохранения полных энергии и импульса (11,5—6)) остается, разумеется, в значительной степени условным: сохраняется в действительности не только эта сумма, но и каждое из чисел Np, Np в отдельности. Будет ли сохраняться величина Q в результате взаимодействия, зависит от характера взаимодействия. Если Q сохраняется (т. е. если оператор Q коммутирует с гамильтонианом взаимодействия), то выражение (11,8) показывает, какое этот закон вносит ограничение на возможные изменения числа частиц: могут возникать и исчезать лишь пары «частица -(- античастица».
Если частица электрически заряжена, то ее античастица должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и другая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничтожение их пары противоречило бы строгому закону природы — сохранению полного электрического заряда. Мы увидим ниже (§ 32), каким образом эта противоположность зарядов (при взаимодействии частиц с электромагнитным полем) возникает в теории автоматически.
