Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадратов диаграмм (97,1), вклад в сечение излучения вблизи границы спектра дают также произведения (интерференционные члены) прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же начальная частица, например произведение второй из диаграмм (97,1а) и диаграммы
I
Рг ^----Г*---^-----Pi
Pi <-----*«----рг
Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов. Окончательный ответ для сечения:
с?о = 2аг2 1?(0тах-°)]'/2 (97,17)
е Ш Qmax
При рассеянии электрона на позитроне логарифмически большой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляцион-ных диаграмм, в которых излучают начальные частицы:
t* \к -p++l—*-------р_ -р+---------,—U—р_ (97,18)
~р{-*---**----Р- ~Р+*------W------Р-
Разумеется, полученный в борновском приближении результат пригоден, как обычно, лишь до тех пор, пока относительная скорость конечных электронов велика по сравнению с а. В противном случае следует учитывать взаимодействие частиц в конечном состоянии.
ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ
485
С нелогарифмической точностью существенны также и квадраты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окончательный ответ:
Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии логарифмически велико по сравнению с излучением при элек-трон-электронном рассеянии.
§ 98. Излучение мягких фотонов при столкновениях
Пусть doo — сечение некоторого процесса рассеяния заряженных частиц, который может сопровождаться излучением определенного числа фотонов. Наряду с этим процессом рассмотрим также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испусканием одного дополнительного фотона. Если частота ю этого фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сформулированы ниже), то сечение da второго процесса простым образом связано с da0.
Действительно, при малых ю можно пренебречь обратным влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния. Другими 'Словами, сечение da может быть представлено в виде произведения двух независимых множителей: сечения dao и вероятности dw испускания одного фотона при столкновении. Испускание мягкого фотона — процесс квазиклассический; поэтому его вероятность совпадает с классически вычисленным числом испущенных при столкновении квантов, т. е. с классической интенсивностью (полной энергией) излучения dl, деленной на о)(=/ш). Таким образом,
Покажем, как эта формула может быть получена по общим правилам диаграммной техники (/. М. Jauch, F. Rohrlich, 1954).
Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотонной линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или внутренней) электронной линии, т. е. путем замены
da — dan . и <й
(98,1)
А*
\
(98,2)
Р
Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, получающиеся такой заменой во внешних электронных линиях. Действительно, если р— импульс внешней линии (р2 = т2), то
486
взаимодеиствие электронов с фотонами
[ГЛ. X
при малых k будет также и (р— k)2 zx т2, т. е. добавляющийся в диаграмме множитель G(p — k) будет находиться вблизи своего полюса.
Для линии начального электрона р замена (98,2) сводится к замене в амплитуде реакции:
и (р)-> е V4лG (р — k) (уе*) и (р) =
=* * У4л - m2 u (р) » — в V4n (ye*) u (p).
Заметив, что
{УР) (YO = 2pe* — (ye*) (ур), YP« (p) = not (p), получим правило замены в виде
и(р)-+ — и(р). (98,3)
Аналогичным образом для линии конечного электрона р' замена на диаграмме
\
\
на, ¦*.----------
рг р' р'+к означает замену в амплитуде:
й (р') -* е У4л й (р') . (98,4)
Во всех остальных частях диаграммы можно вообще пренебречь изменениями импульсов линий, связанными с испусканием фотона k. При этом подразумевается, что энергия фотона а> во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц, участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются).
Пусть для определенности сечение doo относится к рассеянию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучением жестких фотонов). Амплитуда этого процесса, который мы условно назовем упругим, имеет вид
М({Гр) = й(р')Ми(р).
Произведя в ней один раз замену (98,3), а другой раз (98,4) и сложив результаты, получим амплитуду тормозного излучения тех же жестких фотонов и мягкого фотона k '):
(98,5)
‘) Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле является естественным результатом калибровочной инвариантности; амплитуда реакции не должна меняться при замене 4-вектора поляризации е->- е + const
§ ЗД ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ столкновениях 487
Соответственно сечение
do~doyap-4ne*\^-^'-^-. (98,6)
(p'k) (pk)
d3k
(2я)3 2co
Просуммировав по поляризациям фотона k, получим da = — е2
(p'k) (pk)
d3k doyw. (98,7)
4л2(о упР *
Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет вид1)
da-
( [vn) [уп] у d»dok /гчо
aU—v'n 1—vn) 4я2со упр» (98’8)
где п = к/о), a v и v'— начальная и конечная скорости электрона. Мы видим, что выражение, стоящее перед daynP, действительно совпадает с (деленной на и) классической интенсивностью излучения (ср. II (69,4)), как и утверждалось в формуле
