Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы т) е М. Если массы сталкивающихся частиц т и М различны, то для определенности будем считать, что т < М.
Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) можно представить в виде
(99,2)
где бц — 4-вектор поляризации фотона, a Jv- — ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же процесса б)
М{1 = ге2^(!^), (99,3)
где /ц — ток перехода частицы т (нижняя вершина диаграммы); Ze — заряд этой частицы. Ток J — функция от k = Q— q и потому в этих случаях различен: k2 = 0 в (99,2) и к2^0 в (99,3). Но если во втором случае
| к21 < т2, (99,4)
то и здесь можно взять J при k2 = Q.
Изменение импульса частицы М при испускании виртуального фотона, р — р/ = к, мало по сравнению с ее первоначаль-
ным импульсом |р| « е; поэтому в токе перехода j можно положить р = р'. Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина частицы2):
f = 2/. (99,5)
*) Излагаемый ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом (К. Weizsiicker, Е. J, Williams, 1934); основная идея этого метода была еще раньше высказана Ферми (Е. Fermi, 1924).
2) При нормировке волновых функций на одну частицу в единичном объеме ток = (1, v), где v — скорость. Но мы условились_(см. § 64) опускать в волновых функциях нормировочный множитель l/V2e. Соответственно этому в f надо ввести дополнительный множитель 2е, и мы приходим к выражению (99,5).
494
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ электронов с фотонами
[ГЛ. X
Условие поперечности тока (jk = 0) дает теперь ео> —= = 0, где ось х выбрана в направлении р. Отсюда
(ki—поперечная к оси *: составляющая вектора к), условие (99,4) эквивалентно неравенству |кх|<С т и значительно более
Далее, из условия поперечности тока J (Jk = 0) следует при использовании (99,6)
Произведение же Je в (99,2) раскроем, выбрав 4-вектор поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: ek =—ek = 0, откуда ех » —ej.kj./<o. Тогда
Сравним выражения (99,8) и (99,9). Они окажутся пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток J относится к верхнему узлу диаграммы (99,16), он не связан с направлением р; поэтому Jx и Jj. надо считать величинами одного порядка. Допустимость указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий |kj. | со и со < E2-|ki|/M2; они не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на kx и со.
Приняв, что в (99,9) фотон поляризован в плоскости х, к (так что ej. ||kj.), и заметив, что в силу поставленных условий « е2 — 1, получим теперь
Согласно сказанному выше при этом предполагаются выпол ненными условия
со = vkx,
(99,6)
слабому неравенству для со: <о <С m/V 1 — v2.
Поэтому для скалярного произведения j] получим
/7 = 2 (J0s - Jxpx) ~ 2 ? (kj. Jx + -^1 Jx) . (99,8)
(99,9)
(99,10)
| kx | со <C my,
~T « I kx I < m,
(99.11)
(99.12)
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
495
где для краткости обозначено
М Vl -Vs ‘
Отсюда можно найти связь между соответствующими сечениями. Согласно общей формуле (64,18) имеем (в системе покоя частицы т)
где dp<j — статистические веса частиц Q. Используя (99,10) и
(99,7), получаем
Напомним, что dar — сечение процесса а), вызванного столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образуется система частиц Q в определенных интервалах их импульсов. Сечение же da относится к процессу б) образования той же системы Q при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс р — р' = к, оставаясь в интервале d3p' значений р'. Множитель и-(к) в (99,13) можно истолковать как плотность (в k-пространстве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы.
Интегрирование по сРр' равнозначно интегрированию по d3k = da> d2kj.. Произведя интегрирование по d2ki, мы получим сечение процесса, в котором полная энергия Е системы частиц Q лежит в заданном интервале dE = da> (Е — т = е — е' —со, где е и е' — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирование по направлениям ki означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на 2я). После этого получим
da = dar • п (k) d3p',
(99,13)
где
(99,14)
(99,15)
где
п
(ю) = ^ п (к) 2nkL dk
Интеграл по kx расходится при больших kL. Расходимость, однако, всего лишь логарифмическая. Это обстоятельство позво-
496
взаимодействие электронов с фотонами
[ГЛ. X
ляет (в пределах применимости излагаемого метода) получить ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегрирования ki_ max ~ т — верхний предел неравенства (99,12). Произведя интегрирование, получим для спектрального распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах)
п (to) da = ^ Za In . (99,16)
Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величны (~1) и представляло бы собой превышение допустимой точности.
