Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 164

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 244 >> Следующая

n = к/со, a D— некоторая функция р, е и к (но не р), причем ее точный вид несуществен1). Поскольку в ультрарелятивистском
') Спиноры wi и wt можно считать дри интегрировании постоянным?!, т. е. можно пренебречь изменением поляризации электрона при его классическом ультрарелятивистском движении. Это следует из уравнений, полученных в § 41.
Введя передачу импульса в классическом рассеянии
Л --
A = p (oo) — p (— со) = — 2рлг/р2, можно переписать эти формулы как
(96,7)
(96,8)
rW-(p+^)i + ^V<a + Pa.
I = — -jr [со/ — kr (/)]
вместо t и использованием формулы
00
а (р) = wjDw; ¦ АуД, (х),
(96,9)
где
Z==P — (1 —nv)
476
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
случае фотон испускается под малым углом 0 к направлению скорости электрона, имеем
X- Р^со(1 -о-Ь-f-),
или
+62)’ 6 = ^Г- (96>10)
Уже было упомянуто, что (96,5) есть вероятность испускания фотона при однократном прохождении электрона мимо ядра на прицельном расстоянии р. Сечение испускания фотона с заданными частотой и направлением получается умножением этой вероятности на dpxdpy/v лг dpxdpy = d2р и интегрированием по прицельным параметрам:
daz=~(^r\la(P)l2d2p. (96,11)
Не следует, однако, думать, что эта формула без интегрирования по d2p дала бы также и распределение конечных электронов по направлениям. Отклонение электрона при его движении по классической орбите однозначно определяется внешним полем и заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим отклонением (а предельное значение рЧ00) классической функции р'(/) не совпадает поэтому с реальным конечным значением импульса электрона). Для нахождения этого распределения необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию электронов по плоским волнам.
Как видно из (96,11), а(р) есть амплитуда испускания фотона при столкновении на прицельном расстоянии р. Но выражения (96,5—6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до фазового множителя. Последний есть, очевидно, e~ikp, — ввиду наличия не зависящего от времени члена rj,(oo) = p в г (t), этот постоянный множитель должен присутствовать в Vfi(t) и может быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и, таким образом, амплитуда процесса испускания есть
е-гкра(р), (96,12)
где а(р) дается выражением (96,9).
Пусть электрон описывается при г-»—оо плоской волной с импульсом р, направленным вдоль оси z. Это значит, что волновая функция электрона при г-»—оо не зависит от х и у и сводится к постоянной, которую можно положить равной 1.
§ 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИП СЛУЧАЙ 477
Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле, при z -> оо есть 1)
"Ф(°°) — 5(р) = ехр| — I ^U(x,y,z)dzj.
V — СО '
(96,13)
С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96,12) волновая функция электрона, прошедшего через поле и испустившего фотон, есть
e_ikpa(p)S(p). (96,14)
Амплитуда же процесса испускания фотона, в котором электрон остается в состоянии с определенным импульсом р', дается соответствующей фурье-компонентой функции (96,14), т. е.
«(Ях)= ^ е~‘Р V'kpa(p)S(p)d2p== ^ е *4-1-Pa(p)S(p)d2p. (96,15)
где qx — поперечная компонента вектора передачи импульса ядру (ср. 111(131,7)). Сечение же рассеяния с заданным значением qx есть
d^k d2q
da = | a (qx) I2 ^2я)з “(2л)2" ‘ (96,16)
Вычислим теперь S(p). В рассматриваемом случае куло-нова поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расходимостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо брать между конечными пределами:
R R
[ U dz — — 2v ^ = — 2v [in [R + Vtf2 + P*) — In p] ~
-R 0
« — 2vln R + 2v In p
(R p). Первый, постоянный, член не существен, так что
S (р) = ехр (— 2 /V In р) = p-2iv. (96,17)
Подставляя (96,9), (96,17) в (96,15) и интегрируя по направлениям вектора р в плоскости ху, находим
оо
a(qx)co v J p-2'v/Ci(x)/i(<7xP)PdP. (96,18)
’) Ср. III (131,4). Мы имеем при этом в виду аналогию между уравнением (39,5) (в котором полагаем р2 « г2) и нерелятивистским уравнением Шредингера (39,5а). Учитывая различие коэффициентов в этих уравнениях, легко видеть, что в нашем случае условие III (131,1) применимости уравнения III (131,4) действительно удовлетворяется. Тот факт, что эта формула не относится к области сколь угодно больших г, не существен по тем же причинам, что и в III, § 131.
478 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
где /i — функция Бесселя. Множители, не содержащие v = Za, здесь не выписаны.
Мы видим, что зависимость амплитуды й(ц±) (а следовательно, и сечекия (96,16)) от v содержится в отдельном множителе. С другой стороны, при v -> 0 сечение должно стремиться к своему борновскому значению. Поэтому ясно, что сечение будет отличаться от борновского лишь множителем, который не зависит от поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффекты.
Интеграл (96,18) может быть выражен через гипергеометри-ческую функцию с помощью формулы
ОО
^ x~}Ki (ах) J! (Ьх) х dx —
о
ЬТ (2 —
Это дает
a(qJ_)00'v(l “•^)(-|-)2tVri2(l — iv)F(iv, 1 — iv, 2, г), (96,19)
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed