Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
5 100]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ
499
нз-под знака интеграла). В результате получим
28 _2 2I ¦ ®
СТ = -77- aZ ге In —
9 е т
в согласии с (94,6); формула справедлива при 1п(ш/т) » 1.
§ 100. Образование пар при столкновениях частиц
Образование электронной пары при столкновении двух заряженных частиц описывается диаграммами двух типов:
i (юад)
j__
р- -р+ р~ ~р+
a S
Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся частицам, нижняя— рождающейся паре.
Рассмотрим в ультрарелятивистском случаб столкновение двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь, т. е. можно рассматривать их как источники внешнего поля1). Этому отвечают две диаграммы первого типа:
I q0> \д(г> | g(V | q(!>
II 11 (100,2)
Р- Р ~Р+ Р- Р ~Р+
где <7<1), <?<2>— «импульсы» компонент Фурье полей двух частиц.
Потенциал Л^ = (Л0, А), создаваемый равномерно движущейся со скоростью v классической частицей, удовлетворяет уравнениям
? Л0 = —4nZe6 (г — v/ — г0),
? А == —4nZev6 (г — vi — г0).
Его компоненты Фурье
Л0(со, к) = — -Jrzfp- е-'кг"6 (ю — kv) и аналогично для А (со, к). В четырехмерном виде А'* (д) = - eiqx°U»d (Uq),
') Случай столкновения двух легких частиц (электронов), изменением движения которых нельзя пренебречь, значительно более сложен. См. об этом указанную на с. 457 книгу В. Н. Байера, В. М. Каткова и В. С. Фа-дина.
БОО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ электронов С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
где U — 4-скорость частицы, а 4-вектор л:0 = (0, г0). Если ядро 1 покоится в начале координат (r[,u = 0), то р = г{,2) есть вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной направлению движения ядра 2). Это выражение для A^{q) и должно использоваться при аналитической записи диаграмм i 100,2).
В проведении вычислений этим способом в данном случае, однако, нет необходимости. Сечение образования пары может быть определено с помощью метода эквивалентных фотонов по известному уже нам сечению образования пары фотоном на ядре. Замена поля одной из частиц (скажем, первой) спектром эквивалентных фотонов означает, что в диаграммах (100,2) линии qW рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокупностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на ядре 2. При е+, е_ т сечение поеледнего процесса дается формулой (94,5). Умножив это выражение на спектр (99,16) эквивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмической точностью) дифференциальное сечение образования пары при столкновении частиц:
da —
е+е_ . тУ (е++е_)1пе++е_’
(100,3)
где у — 1/V1 — у2 >1-
Здесь предполагается, что
т<Се+, е_ <С ту, (100,4)
верхнее неравенство есть условие применимости метода эквивалентных фотонов. В то же время область, определяемая неравенствами (100,4), совпадает с областью энергий электрона и позитрона, существенных при интегрировании выражения
(100,3). При интегрировании по е+ или е_ при заданной сумме е == е+ + е_( т) существенна область вблизи верхнего предела; отбрасывая члены, не содержащие большого логарифма, получаем
da = r\ (Z,Z2af In — In .
9я е \ 1 2 ' т е е
Интеграл по е, взятый по области (100,4), расходится как куб логарифма, а на краях этой области — лишь как квадрат логарифма. В логарифмическом приближении (lny^l), следовательно, область (100,4) действительно основная, и интеграл
8 ае, с8 / 2 \
nrKZlZ2aflir+Tj{< + е- + Te+e-J
In-
§ mol
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ
501
может быть взят в пределах от т до ту. Имеем v
^ In % (in Y — In t) -y- = -g- In3 Y,
l
так что полное сечение образования пары
о = г2 (Z,Z2a)2ln3 —(100,5) 27л ' 1 2 ' Vl - f2
(Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934).
Рассмотрим теперь случай нерелятивистских скоростей сталкивающихся ядер. В этом случае становится существенным изменение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основной вклад в сечение образования пары дают диаграммы второго типа в (100,1)- Таких диаграмм — четыре: две диаграммы
Pr'*—Т Г*---Рг р( ¦*--1--Р1
Рг*——*— Рг Рг *---1—* | * Рг (100>б)
j к
Р- *--|—*~ ~Р+ р- <----1—*— ~р+
и две аналогичные, в которых виртуальный фотон k (рождающий пару) испускается первым, а не вторым ядром ').
Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кинетической энергией относительного движения ядер в системе их центра инерции:
е++е_-сЛЬ2/2 (100,7)
(v—'начальная относительная скорость, М = +
+ Л12)—приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным влиянием рождения пары на движение ядер. Если в диаграммах (100,6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их части будут изображать испускание сталкивающимися частицами виртуального фотона малой частоты (о = = е+ + е_). мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в § 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем воспользоваться полученной там для нерелятивистского случая формулой (98,13) (с тем отличием, что вместо
амплитуды V4л е реального фотона будет стоять пропагатор
*) Отметим, что образованию пары при столкновении двух электронов отвечает всего 36 диаграмм: 21-31=12 диаграмм типа а), получающихся друг из друга перестановками двух начальных и трех конечных электронов, плюс 2-21-3! =24 диаграммы типа б), получающиеся таким же образом из двух диаграмм (100,6).
