Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
. 1 72 2 р+р_(р+ + р2_) , da = -g-Z аге -------—5-------de+ —
2Z2arl ------------------
= ~з^~ ~ 2т) ^“ т>(е- _ т) de+- ^94’9^
Наконец, интегрируя по е+ (в пределах от т до со — т), получаем полное сечение
я' 2 2 С а — 2т \з . л.
*12” V т J ' <94>10)
Если относительная скорость v0 компонент рождающейся пары мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг с другом (Л. Д. Сахаров, 1948). Оно становится существенным, когда vQ порядка (или меньше) скорости частицы в связанном состоянии электрона и позитрона (позитроний):
v0^a. (94,11)
Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары. На диаграммах, изображающих процесс в этой системе, существенны виртуальные импульсы ~т. Другими словами, существенны расстояния между электроном и позитроном ~ 1/т. Между тем волновая функция их относительного движения ^(а) существенно меняется лишь на расстояниях г ~ l/mv0 ~ l/та, т. е. больших по сравнению с 1/т. Поэтому учет взаимодействия частиц сведется к появлению в матричном элементе перехода множи-
466
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
теля г|з*(0). Соответственно дифференциальное сечение умножится на |г|з(0) |2, т. е. на
04,12)
(см. 111(136,11)). Относительная скорость двух частиц есть скорость одной из них в системе покоя другой. Сравнив значения инварианта р+(1р~ в этой системе и в лабораторной системе (системе покоя ядра), получим
т2 „
/ - :—6+e_ Р+Р-,
V1 -у0
откуда можно найти у0. Если р+ и р_ близки друг к другу по абсолютному значению и направлению, то для у0 получается приближенная формула
< = + (94-13) применимая при здесь р = (р+ 4- р_)/2, е = (е++е_)/2,
& — угол между р+ и р..
Поправка в сечении, определяемая формулами (94,12—13), приводит к появлению аномалии в корреляции между импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому максимуму при р+ « р_.
§ 95. Точная теория рождения пар
в ультрарелятивистском случае
В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и рождение пар фотоном в релятивистской области были изучены на основе борновского приближения, для чего во всяком случае требовалось выполнение условия Za < 1. В § 95, 96 излагается теория этих процессов, свободная от указанного ограничения, т. е. справедливая и при Za ~ 1 (Н. A. Bethe, L. Maximon, 1954). При этом предполагается, что обе частицы (начальный и конечный электрон или компоненты пары) ультрарелятивист-ские; их энергия е т.
Мы видели, что в ультрарелятивистском случае .обе частицы летят под малыми углами (0,0х или 0+, 0_) к направлению фотона: 0 <<; те. Такое свойство сохраняется и в точной (по Za) теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов.
Передача .импульса ядру в этой области: q ~ т. Это значит, что в волновых функциях существенны прицельные параметры р ~ \/q ~ 1/т, т. е. «большие» расстояния. На таких расстоя-
§ 95] ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 467
ниях можно пользоваться волновой функцией, полученной в § 39. Изложим соответствующие вычисления для рождения пар.
Сечение рождения пары имеет вид, аналогичный сеченою фотоэффекта (ср. (Е6,1—2)):
da — 2л
где
tpp.tpp
6(e-e+-e_>-^jjf=-. (95,1)
Ц-! == S 4Х (ue)eik,№+_p+d*x. (95,2)
Здесь — волновая функция электрона, а 'ф-Те+-->+ — вол-
новая функция с отрицательной энергией (—е+) и импульсом —Р+-
Функция же Ч4_р_» относящаяся к частице в конечном состоянии, должна содержать в своей асимптотике (наряду с плоской волной) сходящуюся сферическую волну; это обстоятельство отмечено верхним индексом <-> у функции. Согласно (39, !0) такая вал нова я функция1)
(l ——^v> ~ЧР-г-т p~r); и (/>_),
(95,3)
С{_) = env/2T (I + <v), v = Za.
Функция же должна содержать в своей асимпто-
тике расходящуюся сферическую волну (индекс <+> сверху), поскольку по смыслу она является волновой функцией «начального состояния с отрицательной энергией». Волновая функция позитрона (образуемая из V-^-P+) окажется при этом со сходящейся волной в асимптотике, как и требуется для конечной частицы. Согласно (39,11) такая функция
ij>-e+_p+ —
e-^U-‘P+'(l+ —)f(-/v, 1, /(р+г + р+г))и(-рД (95,4)
C(+J = e"”v/2 r(l-t-iv).
Отметим, что необходимость учета членов ~1/е в (95,3—4) связана с матричной структурой Mft (95,2). Матричный элемент («Ь есть вектор с направлением, близким к к. Поэтому основ-
*) В этом параграфе р± => | р± |, q = | q |.
468 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
ной член в (ае)ц оказывается малым, а поправочные члены — одного порядка величины с ним.
Подставляя (95,3—4) в (95,2) и пренебрегая членами
— 1 /е+е_, находим
Мп = и (р_) {(еа) I + (еа) (а1+) + (а1_) (еа)} и (—р+),
2 V8+8-
(95,5)
где
N = С(+)СЫ = nv/sh nv, (95,6)
I = J e~ivFlF+d3x,
]+ = -2~ $ e~i(irFlVF+d3x, l_ = ~~ ^ e~i4T (VF_)‘ F+ d\ (95,7)
q = p+ + p_ —k
(f_ и F+ обозначают для краткости гипергеометрические функции, входящие в (95,3) и (95,4)). Сразу же отметим, что интегралы I, 1+, 1_ связаны одним тождеством: из
J V (e~{^FlF+) d3x = О
имеем
q/-f 2е+1^+ 2е_1_ = 0. (95,8)
Квадрат \Mft\2 усредняем по поляризациям падающего фотона и суммируем по направлениям спинов электрона и пози-
