Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Задачи
1. Найти сечение тормозного излучения при столкновении быстрого электрона с ядром, исходя из сечения рассеяния фотонов на электроне.
Решение. В системе отсчетд Ки в которой электрон до Столкновения покоился, процесс можно рассматривать как рассеяние на электроне эквивалентных фотонов поля ядра '). Согласно (86,10) сечение рассеяния фотона электроном в системе Ki
d(W (“i- mi) =
„ mda>\ Г со, co| / m m \2 /1 1 \T
-TLH- + — +( —---------------1-2«(—----------------I. (0
mi L mi mi \mi “i / mi/J
где со| и со| — начальная и конечная энергии фотона в этой системе. Сечение тормозного излучения в системе Ki
^изл W = ^ dQ)i *'п (“0 dVcc (“1- “О-
где re(<Bi)—функция (99,16). Ввиду инвариантности сечения переход к системе отсчета К, в которой покоится ядро, сводится к преобразованию частоты со,. Частоты сй| и со в системах К\ и К связаны формулой Доплера
(/ = ycOj (l с cos 0|), V = ^yzr^'
(3)
где — угол рассеяния в системе Kj. Этот же угол связывает со, с coj согласно (86,8):
-V------— = —(1—cosBi). (4)
со. со, т
‘) Рассеяние же виртуальных фотонов на ядре (в системе покоя ядра) исключается большой массой последнего: сечение рассеяния стремится к нулю при увеличении массы рассеивающей частицы.
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
497
Из (3) и (4) находим
(5)
где е — ту и е'—начальная и конечная энергии электрона в системе К (е — е' = со')- Подставив (5) в (1), получим
^СТрасс пге
т dm
»' ( е'
г(т
+ Л +
т2 со'2
2тсо' \
?0,8' У
Это выражение надо подставить в (2) и интегрировать по со, при заданном со' (т. е. заданном е') в пределах между
2есо' тсо'
шах -------- > min— 2g'
(эти значения получаются из (3)—(4) при 01 = 0 и01=я). Ввиду быстрой сходимости интеграла при больших coi главный вклад в него дает область coi вблизи нижнего предела (т. е. можно положить coi шах -*¦ оо). Вычисляя интеграл с логарифмической точностью ‘), получаем
daa3JI =
da' е' г
со'
In
Для справедливости этого результата, помимо условия 8>и (ультра-релятивистский электрон), должно выполняться условие (99,11): суще-
ственные при интегрировании частоты coi ~ coi min должны быть много меньше в. Отсюда е — е' = т' «С ee'lm. В этих условиях полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с логарифмической точностью с (93,17).
2. То же для тормозного излучения электрона на электроне.
Решение. В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние виртуальных фоторов на быстром электроне дает сечение da^^, совпадающее с сечением излучения электрона на ядре с Z = 1.
Рассеяние же виртуальных фотонов на электроне отдачи дзет сечеиие излучения
danL = \ da • п (a) dapacc (со, со')
с daPacc(co, со') из (1) (с соответствующим изменением обозначений частот). Для области значений, пробегаемых со при заданном со', имеем (ср. (4))
со' со оо
со ' <со< ¦
• 2со'
при со' < ¦
2 •
‘) Это значит, что путем однократного интегрирования по частям выделяем член, содержащий большой логарифм, а остальными ' членами пренебрегаем. Эта операция сводится к вынесению логарифма ln(e/coi) из-под знака интеграла при значении coi = coi min-
498 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ 1ГЛ. Я
При <о' < т/2 интегрирование по «о дает
, (2) I® 2 Ai/ (1 ®/2 ^ I е
da= — ari—j- I 1------------------г )1п —г
изл 3 е «о V m m2/ «о
в согласии с (97,4). Если же <о' > т/2, то надо различать случаи <о' ~ т и ш' ~ е > т. В первом случае получаем
. (2) 2 2 mda' /. т . т2 \. е
a°ZL=т аге —— (4 -—+т-тг) ,п —
3 «о V «о 4<о / т
в согласии с (97,3) (в аргументе логарифма произведена замена с требуемой точностью е/<о' на е/т). В случае же <о' ~ е метод эквивалентных фотонов вообще неприменим для вычисления da^n. Частота виртуальных фотонов «о пробегает значения, начиная от <о', и при «о = <о' ~ е, следовательно, не выполняется"условие (99,11).
3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух фотонов.
Решение. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К): «о т. Перейдем в систему отсчета Ко, в которой ядро движется навстречу фотону/ со скоростью «о такой, что
1 «о
уп=^] ~ 2т ¦
В этой системе энергия фотона
1 — «о «о г---------------о
w» = w —7=5 ^ Т V1 "о = т.
V1 — ио
Искомое сечение 0 вычисляем в системе Ко как сечение образования пары при столкновениях падающего фотона <0о с эквивалентными фотонами ядра, энергии которых обозначим <о':
• = ^ Oyyti («о'
> Ad'.
где Оуу — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается полученной в задаче к § 88 формулой (1), в которой надо положить
a/1 д/Г
V woo V
m
<о'
Перейдя к переменной v вместо <о', получим 1
а = 2r2aZ ^ v In J^-^- (l — u2)j |(3 — ti4) In — 2u (2 — u2)| dv.
о
При учете сходимости интеграла на верхнем пределе интегрирование распространяется на всю область от порога реакции <о' = т (ti = 0) до <о' = оо (v = 1) и производится с логарифмической точностью (т. е. логарифм 1п[«о(1—и2)/т] заменяется его значением при v — О и выносится
