Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
трона1). Это осуществляется заменой тензора:
и биспинорных произведений:
«±«± -»> 2р± = (е±у° — p±Y =F т).
Заменив также а = y°y, найдем
I Mfi Г "*• '28+8- t'Sp p-Qp+^ “ S Р Р- Р+ •
Q = у/ — y°Y (Yl+) — V° (Yl_) Y,
Q = YI' — V° (vl*+) Y — Y°Y (Vll).
') Вычисления с учетом поляризации всех частиц см. Olsen Н., Maxi-
топ L.//Ppys. Rev.— 1959. — Vol. 114. — P. 887, а также указанную на
с. 457 книгу В. Н. Байера, В. М. Каткова и В. С. Фадина.
§ 95] ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 469
Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих пренебрежений, для интересующего нас ультрарелятивистского случая в области малых углов
0± ~ т/г 1. (95,9)
Введем вспомогательные векторы:
6± = i(P±k> К = ^ (95,10)
(индекс -L означает составляющую, перпендикулярную направ-
лению к). С их помощью ответ записывается в виде
|,f+2
1 •?+ +1* 2 + 2
2е+
j mb
9 “ + 1-П-
2е_ I J
(95,11)
Здесь учтено, что /—^-/±—(КЗК эт0 ВИДН0 из (95,8)), и
опущены члены более высокого порядка по т/г.
Интегралы 1+ можно представить в виде
, . Р± д]
1+ = I-
ч
2е± с?р
е-'<тг
F(—iv, 1, i(p+r + p+r))F (iv, 1, i (p_r -f p_r)) d3x.
(95,12)
Интеграл J выражается через полную гипергеометрическую функцию ’):
4л ,V-2p qyv . .
/ = ——7---------- F(—IV, IV, 1,2),
q2 \qг — 2p_q>/ v ’ ”
_n g2(p+p--p+P-) + 2(p+q)(P-q) (9o, 13)
(Q2 2p + q) (q2 2p_q)
Дифференцирование по p± должно производиться при заданном параметре q, и лишь затем можно положить q = p+-f р_— к. Приведем результат в форме, в которой уже произведены пренебрежения, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и условиям (95,9):
4л 8.. /е I Vvf q2 Л
^ik{тлг) (г) + i^F (г)}¦
(95,14)
‘) Проведение вычислений см. в указанной на с. 441 статье Нордсика.
470
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
Здесь введены обозначения:
F(z) = F(—iv, iv, 1, z)
(95,15)
(F(z) — вещественная функция). Интеграл I вычисляется затем прямо из (95,8).
Подставив значения интегралов в (95,11), а затем в (95,1), получим искомое дифференциальное сечение. Окончательная формула:
Выражение (95,16) сводится при этом, как и должно быть, к формуле Бете — Гайтлера (94,3), отвечающей борцовскому приближению. Оно сводится к той же формуле также и при произвольном, v, если углы вылета пары удовлетворяют условиям
Действительно, при этом q т, так что второй член в фигурных скобках в (95,16) может быть опущен ввиду наличия в нем лишнего (по сравнению с первым членом) множителя (q/m)4. В первом же члене имеем (заметив, что (1 — г) ~ q2/m2 -С I)1)
в результате чего сокращается аналогичный множитель перед фигурными скобками.
Перейдем к интегрированию сечения по направлениям вылета пары.
‘) Это значение функции можно получить из формулы II (е, 7), связывающей гипергеометрические функции аргументов г и 1 — г.
+ ш2(1 + 62+62_)|+g_-2(e2+ + e2_)6+SJ+g_cos(p]}. (95,16)
При v —0
jiv/ sh лv -> 1, F (z) —> 1, F' (z) ~ v2 -> 0.
|fi+ —б_|«1, | я — ФI С 1.
F(z)->F(l)^F(-iv, iv, 1, 1)
1 sh nv
Г (1 — i\) Г (1 + iv) nv
(95,17)
§S5J ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТНВИСТСКИП СЛУЧАЙ 471
Интегрирование по углам разобьем на две области, I и II, в которых соответственно
I) 1 — г > i — zu II) 1 — г < 1 — zu
где Z\ — некоторое значение, для которого 1 > l—2i > (m/e)2. Поскольку в облаети II 1 — z 1, q2 тг, то, согласно сказанному вь?ше, здесь da « dab зэ da ^_л, где daB — сечение в бор-новском приближении. Поэтому интеграл по углам :
dot+ez\do~*\jd<J+\ji с!a |v_>3«(rfce+)3 +\,(da-da !v^0),
(95,18)
где (</о*о.)б — проинтегрнропанкое по углам борновское сечение
(94.5). .
В области 1 имеет,1
дУт2 « 62+ + 61 + 26+6_ созф.
От переменных* б+, Ь~, <р .перейдем к переменным |+, 'г. Пря-
мым вычислением якобиана преобразования найдем
8.,е_
d+ rf5+ • Ь._с1Ь_ • йф
Ьт2 (l+l-f sin Ф ‘ причем
1 ~ 2 “ WМ- = +1_-2•+|_Ч-2ч/0_(1—1+)(1 -l_) cos?.
Выразив отсюда cos ф и sin ф и подставив в (95,16), после простых алгебраических преобразований получим
2 dl+ d%_ dz
U(1 -z)-{\ -г) (|+ + — !)2 - 2(|+-l_)2J1/2
da—Ade+ ,, . _w* , ^ ,,2 * 4211/2 X
F2 (z)
X {jf^r |(n + ei) (1 - 2) + 2e+e_ (|+ - ?_)*] +
+ 4^- l(e+ + e-)2 + 2e+e- (*+ + E- - 1)2]}>
\ sh rev / 2пш3
Наконец, вводим вместо |+, |_ новые «сферические» переменные 3t, ip согласно
|+ + i_ — 1 == V2 sin % cos г|г,
|+ — = дЛ — 2 sin X sin "ф;
0^Х^л/2, 0 < il> < 2л;;
2dl+dl_-> Vz(l — 2) sin xcosy.dx^.
472
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
Указанные интервалы изменения % и i|э отвечают изменению |+, от 0 до 1, т. е. б+, 8_ (или, что то же, 0+, 0_) от 0 до оо; быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение области изменения углов. После преобразования корень в знаменателе сводится к л/z (1 — z) cos %; интегрирование по dydty элементарно и дает
da = 2А • 2л dz (е2+ + 8’_ + |е+е_) [?М + F'2 (2)] ds+.
Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что интегрирование по г будет производиться от 0 до z\, между тем
1,20
ш
V*
1,16
1,12
Щ
\
\
\
\ v
\
как при изменении азимута ф от О до я и от л до 2л каждое значение г проходится дважды.
