Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Интегрирование по dz производится с помощью формулы (92,14), которая при v'= —v (и соответственно вещественной F(z)) имеет вид
F2
+ 4rF" = -
dz
(zF F').
0,1 02
Рис. 18
0,3
z\F{z\) F'{z\ -»
1
V2
где
Интеграл от этого выражения равен Z\F {z\)F' [z\) jv2. Значение w F( 1) берется из (95,17), а предельное выражение для 1) дается формулой 1)
sh jiv
F'{z) = F{ 1 -iv, 1 + /v, 2, z)
[In (1 _ 2)4-2/(v)]-
/ (v) = -J [V d 4- M v СI - /V) - 24' (1)] = V2? ,
(95,19)
Т'2) = Г(2)/Г(2).
Подставив все найденные выражения в (95,18), получим следующую окончательную формулу:
(95,20)
dae+ = 4Z2ar2 4- е2_ 4-
2
_8 ,8 3 +
-)[
2е ,е 1п—!—
’) Вывод этих формул можно найти в приложении к статье Davies Н., Bethe Н. A., Maximon L. C.//Phys. Rev. — 1954. — Vol. 93. — P. 788.
5 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 473
Полное сечение образования пары фотоном с энергией со:
a=z^Z2arl[\u^--^--f(aZ)]. (95,21)
Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычитанию из логарифма универсальной функции атомного номера f(aZ). На рис. 18 дан график этой функции. При V < 1 /(V)» л: l,2v2.
§ 96. Точная теория тормозного излучения
в ультрарелятивистском случае
Матричный элемент для тормозного излучения
мц = ^ (ае*)e_ikr dix’ (96> О
волновые функции начального (е, р) и конечного (е', р') электронов содержат в своих асимптотиках соответственно выходящую и входящую сферические волны. Вычисление этого интеграла аналогично вычислению матричного элемента (95,2). Мы, однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тормозного излучения, основанный на квазиклассичности процесса и не использующий явного вида волновых функций электрона в поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом потенциала поля (В. Н. Байер, В. М. Катков, 1968).
В процессе тормозного излучения ядро передает электрону и фотону импульс q = р'-{-к— р. Как и в задаче о рождении пар, надо различать две области значений передачи импульса q_L, поперечной по отношению к р:
I) m ^ q± » <в/п2/е2, II) ^ ~ мт2/е2 < ш. (96,2)
Очевидно, что в области I сечение испускания фотона дается своим борновским значением: для таких q^ изменение импульса отдачи ядра при излучении несущественно, как это будет показано в § 98 (см. вывод условия (98,10)). Поэтому в области I сечение процесса равно произведению точного сечения рассеяния электрона в поле неподвижного ядра и вероятности испускания фотона, не зависящей от вида поля. Но согласно (80,10) сечение рассеяния в кулоновом поле для малых углов совпадает со своим борновским значением. То же самое относится поэтому к сечению всего процесса в области I.
Таким образом, требует особого рассмотрения только область II. Малым передачам импульса отвечает прохождение электрона мимо ядра на больших прицельных расстояниях: р ~ 1 /q± ^ г/rn2. Но на таких расстояниях движение электрона заведомо квазиклассично, в чем легко убедиться простым приме-
474 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
ненисм обычного условия квазиклассичности III (45,7) к ультра-релятивистскому уравнению (39,5).
Квазиклассичность движения позволяет применить метод, использованный уже в § 90 для магнитотормозного излучения. При азом выражение (90,7) в данном случае представляет собой вероятность испускания при однократном прохождении электрона мимо ядра.
Для фигурировавшей в § S9 функции L остается в силе формула (90, i 8); единственное отл ичие состоит в форме к ваз и классической траектории электрона г — г (7), но которой вычисляется разность г2 — Гь
На больших прицельных расстояниях поле ядра можно считать слабым.. В нулевом приближении траектория представляет собой прямую, проходящую на расстоянии р от центра. В следующем приближении имеем уравнение движения (ср. 1, § 20)
12- —— 2. II1-
dt „ т dr '
где р — вектор в плоскости ху, перпендикулярной начальному импульсу электрона, а в качестве г в правой стороне уравнения следует взять функцию нулевого приближения:
Г И Vр2 + v‘H2 KS д/р* -f /2,
Следовательно,
t
p(o-pi=-p$4гт* <9б’3>
ti
С достаточной точностью скорость v(/) = p(/)/e (где энергия е зависит только от величины, но не от направления р) можно считать постоянной. Еще одно интегрирование дает тогда
t
г (/) = — — (?) - р,] dt. (96,4)
tx
Положим t\ = —оо, так что величины pi = р (—оо) == р и у = р/е будут начальными импульсом и скоростью электрона. Представим вероятность (90,7) в виде
где
dw = \a (р) |2 • (96,5)
оо
а(р) = е д/-^- § R{1)ехр|г -р- [со/ — кг (/)] }dt, (96,6) — 00
' ’ V 28 4 ' V26
§ 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 475
Здесь е' = е — со, р'(0=Р(0— к. Классическая функция р(/) дается формулой (96,3). Если р — начальный импульс элек-трона, то для кулонова поля (U — —v/r, v = Za) имеем
Используя теперь формулу (90,20) для R(i) и выражения
(96,8) для р(/) и г (/) , можно произвести интегрирование по времени в (96,6). Оно осуществляется введением переменной
где Ki — функция Макдональда. В полном проведении этого вычисления, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется выражение а (р) лишь для малых значений независимого параметра А(А <С т). В этом случае находим
