Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
0’ ~ — / .)А!кУл,
где /Куя — длина свободного пробега по отношению к ку .зоновым столкновениям. Для этого пробега имеем
_J______A'ZV ь У.тах
^кул 8 Xr.iin
где хш!п и jimax — инициальный -и максимальный углы рассеяния в одном сшлкковснии, для которых рассеяние можно еще считать резсрфордсзским (ср. X, § 41)1). Перзый из них определяется атомными размерами а, на которых поле ядра экранируется: %min ~ 1 /ра. Большие же углы рассеяния ограничены (для ультрзрелятивистского электрона) расстояниями порядка радиуса ядра R: уиШах да \JpR. Если положить R » 1,5 • 10-132,/а см~геХч\ то получим ,
<93'29)
Второй член в (93,28), набегающий за время т /ког, оцени-
вается теперь как
62г
ие llr*. К
"К.ОГ
/V - ".------/V *
/КуЛ а/рад
Для применимости формул тормозного излучения, полученных без учета многократного рассеяния, этот член должен быть мал по сравнению с единицей. Отсюда находим условие
гког < а/рад. (93,ЗС)
более сильное, чем условие 1ког /рад {Л. Д. Ландау, И, Я, По-меранчук, 1953).
>) Напомним, что длина пробега определяется транспортным сечением фтрв ^ (1 — cos х) йз (х). Для рассеяния ультрарелятивистскнх электронов на кулоновом центре сечение do(%) дается формулой (80,10).
§ 94] ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЕ ЯДРА 463
§ 94. Образование пар фотоном в поле ядра
Образование электрон-позитронной пары при столкновении фотона с ядром (Z + у Z + ег + е+) и тормозное излучение при столкновении электрона с ядром (Z + е~-> Z + е~ + v) — два перекрестных канала одной и той же реакции. В § 91 были уже сформулированы правила, по которым преобразуются формулы при переходе от второго из этих случаев к первому. В данном случае, применив эти правила к формуле (93,8), получим следующее выражение для дифференциального сечения образо-вайия пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризациям компонент пары1):
Z2ar2 rr?p,p_ds,
da=-------5-------5-5-----sin 0+ dQ+ • sin 0_ ^6_ dqi X
2Я (D'V
X f^r (4el — q2) sin20+ + ~ (4е2^ — q2) sin2 0_ —
2(Л2 I 2 . 2 n . 2 . 2 л \
— 1ПГ-'P+ s,n 0+ + p- sin 9-' —
----P+P~ (2e+ + 2ei — q2) sin 0+ sin 0_ cos ф f, (94,1)
к+у._ )
= e± — p± cos 0±, q2 = (p+ + p_ — k)2, e+ + e_ = co
\H. A. Bethe, W. Heitler, 1934).
Таким же преобразованием получим из (93,9) распределение компонент пары по энергиям:
,2 2 Р+Р_ f 4 Р2++Р2- ,
dae+ — Z are——- de+ < — ---------2е+е_——-----------
+1 [- wj:+7^57 (в!+е-+ р*р- ~ _
е+е_ — р2+ f ( 8+е_-р1^Ц
2Р+Р_ V + ра+ pi )\]’
Р+
L = 1п^4Р-Р-:-4 /± = 1п-^±^. (94,2)
8+е_ + Р+Р_ + т 8±~Р±
Поскольку полученные формулы основаны на борновском приближении, они справедливы при условиях Ze2/v± -С 1. Отме-
•) О поляризационных эффектах в образовании пар фотоном см. ту же литературу, которая была указана в § 93 для тормозного излучения.
464 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
тим, что симметричность формул (94,1 — 2) по отношению к электрону и позитрону является следствием именно борновского приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях.
В ультрарелятивистском случае (е+ 3> т) электрон и позитрон вылетают под углами 0± ~ т/е± к направлению падающего фотона. Угловое распределение дается формулой, аналогичной (93,13):
. 8 _2 2 т4е е_ ( б\
do = —Z are —^— ае+ <-
4-
(1+б2_)2 2е + е_ (, +62+)(ц-62_)
/е, е\ 6,6 cos ф 1
+ I — + тЧ -7-------Vtt------5-т- > М- • d6,d6_ • dm, (94,3)
+62+)(l +6i)j + +
причем
Q2 e2 , js.2 , ojs. s. I l( 1 +6+ I 1 V ШЛ A\
At = 6+ 4- 6- 4- 26 + 6_ cos ф 4- m2 ^ ^ - 4- —г—J • (94,4)
Распределение по энергиям в этом случае:
da = 4ZV2^(e2+ + e2_ + 4e+e_)(ln-^=--4-) (у. p.).
(94,5)
Интегрирование этого выражения по е+ (в пределах от т до со) дает полное сечение образования пар фотоном заданной энергии 1):
28 2 2 {, 2со 109 Л ^ /пл
a = -^-Zare[ln —------w»m. (94,6)
Как и для тормозного излучения, логарифмический член в сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области значений q ~ т2/е. Этому соответствуют теперь углы, для которых
"(вместо ф т/е в (93,15)). Таким образом, в логарифмическом приближении направления электрона и позитрона образуют обратно пропорциональные энергиям частиц малые углы с направлением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним, но по разные стороны от него.
‘) Ввиду сходимости интеграла у обоих пределов неприменимость формулы (94,5) при малых е± — т несущественна.
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЕ ЯДРА
465
Вблизи порога реакции (со->-2т) борновское приближение неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае требовал бы точного учета кулонова взаимодействия трех заряженных частиц, имеющихся в конечном состоянии (ядро и пара). Симметрия по отношению к электрону (притягивающемуся к ядру) и к позитрону (отталкивающемуся от ядра) при этом, конечно, исчезает.
Если
(94,7)
то борновское приближение еще применимо. При нерелятивистских энергиях пары ю « 2т^> р±, поэтому q « со. В (94,1) можно положить везде е± = к± = т, со = 2т, после чего эта формула сводится к выражению
Z2 г2
do = -^r^^(p2+sinQ^ +p2-sine_)do+do_de+. (94,8)
После интегрирования по углам
