Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Определенному значению q в формфакторе отвечают расстояния г \/q в пространственном распределении электронных зарядов в атоме. Формфактор приближается к значению^ (полное экранирование) при q ,<; 1/а, где а — размеры атома.
С другой стороны, в ультрарелятивистском случае существенный вклад в сечение излучения возникает, как мы видели выше, уже от области значений q вблизи того наименьшего значения, которое вообще может иметь q при заданных начальной и конечной энергиях электрона. В ультрарелятивистском случае
<7min = р — р' — ® = л/е,2 — т2 — л/е'2 — т? — (е — е') ~
Экранирование существенно, если <7min _< l/а или
ев' а nta ^ 1 /т
(93,20)
(93,21)
Это условие во всяком случае выполняется при достаточно больших энергиях падающего электрона.
Если qmi„ <С 1 /а («полная экранировка»), то с логарифмической точностью можно сразу выписать ответ для спектрального распределения излучения. Действительно, под знаком логарифма в (93,17) как раз стоит левая часть неравенства ве /ти> та. При соблюдении неравенства интеграл по dq, приводящий к этому логарифму, обрежется на значении порядка правой стороны неравенства. Согласно модели Томаса — Ферми a~aQZ~4\ где а0 ~ 1 /те2—боровский радиус (см. III, § 70); тогда ат~ l/aZ4\ Таким образом, при полной экранировке логарифм в (93,17) следует заменить на In(l/aZl/3).
460
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
Потеря энергии
Потеря энергии электроном на излучение характеризуется («эффективным торможением»:
е—т
«изл= 5 ® daa. (93,22)
о
Вычисление интеграла с dow из (93,17) приводит к следующему результату ’):
1п_е±р. _ 2 г±р_ _ 4
т 3 ер2 т 3
+ ^F (--йГ-)}' (93’23)
где F(l) — функция Спенса, определенная согласно (131,19). В нерелятивистском случае формула (93,23) переходит в
хИзл = -у-Z2ar2em (н. р.) (93,24)
(использовано, что F(g) « | при | <С 1—см. (131,23)). Это выражение можно, конечно, получить и непосредственным интегрированием нерелятивистской борновской формулы (92,16).
В ультрарелятивистском случае
^тл = ^2аг2ее(\п~ — -у) (у. р.) (93,25)
(при | 1 имеем F(g) « уг In2 |— см. (131,20); оба члена с
квадратом логарифма в (93,23) могут быть при этом опущены).
Отношение хИЗл/е называют также сечением потери энергии на излучение. При больших е оно растет логарифмически. Это возрастание устраняется, однако, при учете экранирования. При полном экранировании хИЗл/е стремится к постоянному пределу » AZ2ar2e In (l/aZ'/s).
При столкновении с атомом некоторое излучение происходит не только на ядре, но и на электронах. Мы увидим ниже (см. § 97), что в ультрарелятивистском случае сечение излучения электрона на электроне отличается от сечения излучения на ядре лишь отсутствием множителя Z2. Поэтому наличие Z атомных электронов можно приближенно учесть заменой Z2 на Z(Z+ 1).
При прохождении через среду, содержащую N атомов на единицу объема, быстрый электрон теряет в среднем свою энергию
v2 2 ( 12е2 + 4 т2
^изл z osее !
3 ер
') Хотя формула (93,17) вблизи верхнего предела неприменима, ввиду сходимости интеграла это несущественно.
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИП СЛУЧАЯ
461
на расстояниях порядка
(93'26)
эту длину называют радиационной.
Длина когерентности
Формуле (93,20) можно дать и другое, более общее истолкование: для применимости полученных формул необходимо, чтобы внешнее поле, в котором движется электрон, мало менялось (в направлении движения) на расстояниях
'--йг—ж-(=таг)> <93-27>
эту длину называют длиной формирования излучения или длиной когерентности1). Значение (93,27), полученное в борновском приближении, имеет в действительности (для ультрарелятивист-ских частиц) совершенно общий характер — легко получить его и в противоположном предельном случае квазиклассического движения. Действительно, из формулы (90,22)2) сразу видно, что для излучения под малыми углами к направлению движения существенны времена
е' е'е
X /~ч“/.. /-Ч»/ ..... —
е<в (1 — с) miо
т. е. участок траектории с длиной ст ~ /ког.
При заданной частоте со длина когерентности растет с увеличением энергии электрона. Между тем формулы, полученные
для тормозного излучения на отдельном изолированном атоме,
могут быть справедливы для излучения при прохождении через среду лишь при условии, что на длине когерентности не происходит повторного излучения фотона или рассеяния электрона. Первое означает, что должно быть /ког <С /рад. Но уже значительно раньше нарушается второе условие — на пути ~/рад возникает многократное рассеяние электрона на ядрах атомов среды.
Для формулировки количественного условия вернемся к формуле (90,22) до того, как в показателе экспоненты произведено
•) Излагаемые соображения принадлежат М. JI. Тер-Микаэляну (1953).
2) Вывод формулы (90,22) основан только на малости кривизны траек-
тории н в этом смысле не связан с тем, что в § 90 рассматривалось кон*
кретно магнитное поле.
462
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМОЗ С ФОТОНАМИ
|ГЛ. X
интегрирование по времени, и запишем ею в виде
(93,28)
где 0 — малый угол между- v и и, связанный с рассеянием на ядрах. При кулои>5С& рассеянии угол 0 меняется малыми «порциями», так что из:.:ег;сппе 6 со временем имеет характер медленной «диффузии По углам». Средний крадрат отклонения электрона на-пут I — ?;( — с({ — i{))
