Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
После интегрирования по направлениям фотона
, 16 2 2 / ei е2 \2 v' da sin 0 dQ
0)0 „ ele2 ( I 2 . ,2 _ , Q >
3 \wi m2 / v to i>2+V — 2to'cos 0
где 0 — угол рассеяния. Наконец, интегрирование по йв дает
, 16 2 2 ( е\ е2 \2 1 , v + и' da
doa = — efei ( —-----------— I —г In----------;-----,
m 3 1 1 V rtii m2 J v2 v — v со
Для излучения в поле неподвижного кулонова центра эта формула совпадает с (92,16).
2. Найти в борновском приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух электронов2).
Решение. Дипольное излучение в этом случае отсутствует, так что надо рассматривать квадрупольное излучение. В классической теории спектральное распределение полной интенсивности квадрупольного излучения дается формулой
1<в— (1/90) | (Dik)a 12>
гДе Dik = Ze(3* r2dtkj — тензор квадрупольного момента системы зарядов3). Для двух электронов в системе их центра инерции е
Dik^-Г (3xixk ~ r%k)’ r = г, - r2.
При переходе к квантовой теории компоненты Фурье надо заменить матричными элементами (ср. сказанное в § 45 о дипольном излучении), и принадлежащей нормировке волновых функций (плоских волн) получится — после деления на энергию фотона со — сечение излучения с рассеянием электронов в интервал состояний d3p'\
1 (i^P^
= ~90со" I (D‘k)p'p Г с» (2я)3 ’
’) Замена двух частиц одной частицей с приведенной массой допустима, конечно, только в нерелятивистском случае.
2) Скорость столкновения v удовлетворяет условиям а -С e2/hv •< 1. Классический случай (e2/hv > 1) рассмотрен в задаче к II, § 71.
3) Эта формула получается из II (71,5) так же, как II (67,11) получается из II (67,8).
§ 92] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 449
где v = 2р/т — начальная скорость относительного движения; излучаемая
С учетом тождественности обеих частиц (электронов) матричные элементы вычисляются по волновым функциям
где знаки «+» и «—» соответствуют суммарным спинам электронов 0 и I (перестановке электронов отвечает замена г-»—г).
Громоздкие вычисления приводят к следующей формуле для спектрального распределения излучения:
где х = w/е, а е = р2!т — начальная энергия относительного движения электронов; сечение усреднено по значениям полного спина электронов. Эффективное торможение
(Б. К¦ Федюшин, 1952).
3. Определить энергию излучения, возникающего при испускании ядром нерелятивистского электрона в s-состоянии.
Решение. Волновая функция испущенного ядром электрона — расходящаяся сферическая s-волна, нормированная на равный единице полный
•) Это выражение аналогично классической формуле
которая получилась бы в результате дифференцирования Du, с учетом классического уравнения движения
т f __
частота со = (р2 — р'2)/т.
Оператор Dlk вычисляется путем трехкратного коммутирования Dtt, с гамильтонианом
и равен')
j 12 (2 — х)4 — 7 (2 — х)2 х2 — 3.t4
(2-л:)3 Vl - л
д , 1 ) Vl — * J
Arch —1=- i. —--------dx,
ух) X
е
о
2
450
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
поток:
ф 1 ег>
1 V 4гг.у л
(см. III (33,14)). В качестве волновой функции конечного (после испускания фотона) состояния электрона выберем плоскую волну
4>fwp'r.
Матричный элемент перехода
V^o J г
V4jt р' J п_
v р'2 — р2 V о а>
(интеграл вычисляется согласно (57,6а)). Энергия излучения получается из формулы (45,8), умноженной на d3p'j (2л)3 и проинтегрированной по направлениям р' (что сводится к умножению на 4я).. В результате получим спектральное распределение излученной энергии
2е2»'3 j
dE^~^rd&-
При м->-0 конечная скорость электрона v'-*-v, и эта формула совпадает, как и должно быть, с нерелятнвистским пределом классического результата (см. задачу к II, § 69). Полная излученная энергия (в обычных единицах)
„ 4 / о \2
?=т&гЧт) е>
где е = mv2j2 — начальная энергия электрона.
4. Определить энергию излучения, возникающего при отражении нерелятивистского электрона от бесконечно высокой «потенциальной стенки».
Решение. Пусть электрон движется нормально к стенке. Хотя фотон может быть испущен в любом направлении, но поскольку в нерелятнвист-ском случае импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, можно считать, что и отраженный электрон будет двигаться нормально к плоскости стенки. Пусть стенка находится при х = 0, а электрон движется со стороны х > 0. Волновые функции стационарных состояний одномерного движения, нормированные на б(р/2л) (р = ?>.), имеют вид стоячих волн (см. III, § 21):
ф. = 2 sin рх, ф^ = 2 sin p's.
Матричный элемент оператора р ~ fix:
ОО
pf{ — — 4i \ sin р'х sin рх dx —-------*!PR—
J dx
dx р2— р‘
2
(интегралы такого вида надо понимать как предел при б +0 от значения, получающегося путем введения в подынтегральное выражение множителя е~Ьх).
Энергия, излучаемая при однократном отражении электрона, получается из (45,8) умножением на dp' = deo/o' и делением на 1>/2я (плотность потока
§921 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ СЛУЧАЙ 451
бегущей к барьеру волны в начальной функция ф;):
4fflV2 , „ 2л dm 3 , , , /1Ч
аЬ = ——=— pf г----------;— = -z—-elvv dсо. (1)
“ Ътг 1 1 со Зл
