Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(в последнем члене положено nvj «1).
Преобразуем остальные множители в (90,13). Прямым рас* крытием произведения в R{t) (с матрицей а из (21,20)) на* ходим
где p'{t) = p{t)—Й-k; опущены члены высших порядков по т/е. Таким образом, окончательно имеем
Множители (1 + ?<т)/2— двухрядные поляризационные матрицы плотности начального и конечного электронов.
Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по поляризациям начального электрона. В результате указанных
X
0
получим
Разлагая по степеням т, имеем отсюда
к (г2 — П) сот ** ют j(v!ti — 1) + т —— т2 (90, Щ
R (t) = да*е* (Л + i [Во]) wt,
ехр (-Ш) (i |Q+Q, | i) = i%R{L (т),
(90,21)
432
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
операций получим после простого вычисления1)
1 V1 D‘D в2 + г'2 , п , 1 ( tm \2 ( т \2
-2L Wl=-2?r-(VlV2- D + tIvJ Ы •
поляр
С требуемой точностью
о т2 '9 . т2 •• * т2 1 о 9
ViV2 = v2-rv2+ Tvv=l--^-?со0т2.
Подставив эти выражения в (90,21), а затем в (90,10), получим dl= — a2dadon X
оо — оо
(90,22)
Эта формула дает спектральное и угловое распределение интенсивности излучения.
Для нахождения спектрального распределения произведем интегрирование по do„. Выбирая направление v в качестве полярной оси с углом ¦© между п и V, имеем
nv = wcos'fr, do а = sin'&d'&d<f,
и интеграл
f ( гсоте \ , 2пе' ( ( гсотео \ ( гсотео Ч")
3 ехр I— nVJ d0n = lexp (“i7-) - ехр 1“ ~~r~)) •
При подстановке этого выражения в (90,22) мы получим два члена, показатели экспонент которых имеют разный порядок величины. Показатель экспоненты второго члена оказывается гораздо большим, поскольку содержит множитель 1 + v ж 2 вместо малого множителя 1 — v г» т2/2е2 в первом члене. Сместив контур интегрирования по т в нижнюю полуплоскость комплексного переменного т, можно сделать второй член ма-
¦) Здесь использовано также следующее обстоятельство. При суммировании по е:
2 (yie) (у2Ё*) = v,v2 — (v.n) (v2n).
е
Но при подстановке (90,21) в (90,10) можно произвести интегрирование по частям, заметив, что
(v.n) ехр (- -р- kr.) ехр (- kr.)
и аналогично для v2n. В результате найдем, что для дальнейшего интегрирования v.n и v2n можно заменить здесь единицей.
МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
433
лым и пренебречь им. После этого можно снова совместить контур интегрирования с вещественной осью. Из вывода видно, сднако, что имеющийся теперь полюс в подынтегральном выражении при т = 0 должен обходиться снизу. Таким образом,
причем контур интегрирования выбирается указанным выше способом. Используя интегральное представление функции Эйри Ф (см. III, § Ь), нетрудно показать, что первый член сводится к интегралу от функции Эйри, а второй — к производной от нее. Окончательно находим
(Л. И. Никишов, В. И. Ритус, 1967). Максимум в частотном распределении лежит при х ~ 1; при х<С 1 отсюда следует
(90,1), а при % 1—= (90,4). В классическом предельном случае
имеем Йсо <С е, так что е' «=> е, х (со/со0)2/' (m/е)2; второй член в круглых скобках мал и (90,23) переходит в классическую формулу II (74,13).
На рис. 15 изображены графики спектрального распределения при различных значениях %. Отложена величина
Величина /кл есть классическая полная интенсивность излучения (ср. II (74,2)).
Для вычисления полной интенсивности излучения выражение (90,23) надо проинтегрировать по со от 0 до е. Перейдем к интегрированию по х, заметив, что
оо
dl _____ ie2a
da 2л
) ехР {—(1 - w + IT шо)} dX'
— ОО
dl
da
j J Ф (?) dl + (| + If x*v’) Ф' (*) J, (90,23)
(90,24)
l dl
'/г^кл d-{а]ас)
как функция отношения со/сос, где
' ___ ex j _ 2e2m2%2 2e4#2e2
0 2/з + X ’ кл _ ~~ 3m4 •
434
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ электронов с фотонами
[ГЛ. X
а следовательно, х меняется от 0 до с». Произведя в первом члене в (90,23) дважды интегрирование по частям, получим
---1foV [ 4 + + № ф, ( ) d
2V^3 (1+х^)4 W{X)XdX'
На рис. 16 изображен график функции /(х)//кл.
(90,25)
При 1 в интеграле существенна область х ~ 1. Разла« гая подынтегральное выражение по % и интегрируя это разложение с помощью формулы
S
х'' ф' (х) dx :
1 _ 3(4v-l)/6 у/
QS f.O
Рис. 16
1,5 ЗХ
х^т+О^т+г)-
получаем
/ = /кл(1-^Ё#Х + 48х2-...).
(90,26)
При % 1 в интеграле су-
щественна область, в которой
Xх
%
1, т. е. х < 1. В первом
приближении можно поэтому заменить Ф'(я) на Ф'(0) ——З'^Г (2/3)/2 д/я> после чего интегрирование дает
/ * Зуу/. _ 0_37 eW
243Л2
ti1 V Я0т )
(90,27)
§ 90] МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 435
Магнитотормозное излучение приводит к возникновению поляризации движущихся электронов (А. А. Соколов, И. М. Тернов, 1963). Для рассмотрения этого вопроса надо найти вероятность радиационного перехода с обращением направления спина.
Положив в (9Э.21) ?г = — ?f = S, |?| = 1, получим RlR, = (BjBs) - (е*В,) (еВ2) - (е* [В^]) <« [B2g]) - i (ge‘) (е [В,В2]).
Суммирование по поляризациям фотона дает посл« простых преобразований
? r;r, = (BjB2) (i - (?n)2) + (gn) (nBj) (бв2) +
e
+ (Бп) (nB2) (БВ,) — / (Б — n (n?)) {BXB2]. (90,28)
Будем предполагать, что % 1, и будем искать лишь глав-
