Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
]п. |2_____________(Ze2)2 т*____________v
PN (р + p'f (р ~ Р')4 (1 ~ е~^) (е2™ - 1) Л
X {у~\ Ff-z\F'\2+i (FF'* - ГГ)}. (92,13)
Для интегрирования сечения (92,12) по dcy = 2я sin перейдем от переменной ¦fr (угол рассеяния) к переменной
z = — -(р-р')2 (1 — cos ft), do»' -> ~jp,R— dz.
.Чтобы взять интеграл по dz, преобразуем выражение в фигур-ных скобках в (92,13). Согласно дифференциальному уравнению гипергеометрических функций (см. III (е, 2))" имеем
2(1 -z)F" + [l -(1 +/v + /v/)2]/7' + vv/f = 0,
2(1-2) F"* + [1 - (1 - /V - ivf) z] F'* + vv'F* = 0.
Умножив эти два уравнения соответственно на F* и F и сложив, получим
{F'F* + F'*F) ~2z\F'? +
-Ь (F"F - + TZT71 F I2] = °-
Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92,13) равно
{•••)=-ТЧГг^ + РГ') (92,14)
и интегрируется непосредственно.
Собрав полученные формулы, найдем окончательное выражение для сечения тормозного излучения в интервале частот diо1)
da. - “51Z V» ^ (-^ IР® f) ^
* 3 е(р-р')2 р (1 -e-^He2™.
(92,15)
где
Zamc Ze2 , Ze2 , t—s---------~—-—
v= —= —, v =1-r, p = ^р*-2тП<о,
F® = F{iv', iv, I, I), ? = - {pA-lP:py.
*) Формулы (92,15—25) пишем в обычных единицах.
§ 92] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 443
Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости и и и' настолько велики, что v< 1, v'< 1 (но, разумеется, по-прежнему v -С 1, так что Za <С v <С 1; это возможно лишь для малого Z). Для вычисления в этом случае производной F'(Q воспользуемся формулой
-fzF(а, р, V, z) = ^F(a+ 1, р + 1, Y+ 1, г),
которую легко получить простым дифференцированием гипер* геометрического ряда. Имеем
F' (6) » iv • iv'F (1,1, 2, I) = In (1 - I)
(последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответствующих рядов). Для самой же функции F(?) имеем просто
F(t)~F(0, 0, 1, |) = 1.
В результате находим из (92,15)
. 16 , с* , v -f- v' da
do„ = Z arl -t In -
1. J?«l. (92,16)
Малость v и v' есть как раз условие применимости бор нов-' ского приближения в случае кулонова взаимодействия. Поэтому саму по себе формулу (92,16) проще получить непосредственно с помощью теории возмущений (см. задачу 1).
Пусть теперь быстрый (v< 1) электрон теряет на излучение значительную долю своей энергии, так что и V мо-
жет быть не малым. Тогда
= 1, F(l)~F(iv', 0, 1, |)= 1,
F' (s) « —vv'F (1 + iv', 1, 2 Л) « -vv',
и сечение
da, = ^zW.(j.y ,_с>рДг„;„,,4г. №17>
?«*•
При v' <С 1 эта формула дает такое же предельное выражение , 32 7! 1 с!а' da
= -3- Z are ¦
3 v со
как и формула (92,16) при v' -С v. Поэтому формулы (92,16—17) вместе перекрывают (при v 1) весь диапазон значений v'.
444 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
При со —> (On (где Ищ = ти'1/2) скорость с/->0 и v'->oo. В этом пределе (92,17) дает
, 128л 7з г : / с V Л /по 1 о\
daa = -^-lar\T) (92,18)
Таким образом, daw/d<.о стремится при (о->(й0 к конечному пределу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде соображениями, аналогичными изложенным в III, § 147. Физически оно-связано с тем, что частота со = <о0 является границей лишь непрерывного тормозного спектра. Электрон может излучить также и частоту со > <о0, перейдя в связанное состояние. Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом поле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе свободных состояний. Поэтому граница, отделяющая непрерывный спектр от дискретного, по существу не является физически выделенной точкой.
Перейдем к случаю, когда оба параметра v, v' 1. В этом случае движение как начального, так и конечного электронов
квазиклассично. Мы будем считать, что
G , < —/^\ р2/2т ~ hiо; тогда нам понадобится
' ’* асимптотическое выражение для функ-
^ - ции F{\) при v, v'-voo и | ~ 1 (более
Рис. 17 точное условие будет сформулировано
ниже, (92,24)).
Для получения этого выражения исходим из интегрального представления гипергеометрической функции III (е, 3), которое запишем в виде
/w, *V, 1,1) = (1 - (92’19>
с'
где введено обозначение
*П = v/v', 0 < ц < 1,
так что
s=--(i4V- (92>20)
В качестве же контура интегрирования выбираем показанный на рис. 17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и обходящий точки t = 0 и t — 1 !).
’) Для гипергеометрической функции F (а, {5, |) контур должен быть
выбран так, чтобы при его обходе функция
V {t) = e4a~y+x (t - l)I_a
возвращалась к исходному значению. При целом \ (в данном случае у= 1) указанный контур этому условию удовлетворяет.
§ 92) ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 445
При V, v' Г значение подынтегрального выражения на нижней части этого контура мало и им можно пренебречь: при обходе точки t = 0 сверху вниз подынтегральное выражение умножается на малый множитель ехр(—2ят^'), а при обходе точки t— 1 снизу вверх — умножается на ехр . Интеграл
f = /(<) = * In-f-, (92,21)
2m J t ’ 1 w (j _g/) 4
вычисляем методом перевала. Перевальная точка to определяется условием f'(t0) — 0, откуда <0 = (1 — Л)/2. В этой точке, однако, обращается в нуль также и производная /"(<о), так что надо писать
+ T = t-to,
где
/(А)) = 2яг) + / (1 + rj) In-j-qpjj-, а~~2Г f'" ~ (1 — л2?"’
