Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
При малых частотах (м < е = я»!/2) имеем у' да о и (1) переходит в классическую формулу II (69,5) (которую надо интегрировать по углам и учесть, что v — Ди/2, где До — изменение скорости электрона при отражении); так н должно быть, поскольку при отражении от стенки условие малости времени столкновения II (69,1) во всяком случае выполняется. Квантовая формула (1) позволяет, однако, найти также и полную излучаемую энергию:
е
Г dEa , 16 Vs
Е — V —I dco = — ае —~
J (1 со 9я с‘
о
(в обычных единицах).
5. Определить энергию тормозного излучения при рассеянии медленного электрона на атоме.
Решение. При условии pa -С 1 (где а — атомные размеры) рассеяние на атоме, изотропно и не зависит от энергии электрона (см. III, § 132). Волновые функции начального и конечного состояний электрона пишем в виде
р‘рг . р~‘Р'Г
% = e'pr + /.?_ ^_e.pr + f?_i
где f — постоянная вещественная амплитуда рассеяния. Эти выражения относятся к асимптотической области расстояний г>а, которые в данном случае как раз и существенны: г ~ 1 /р^>а. Вычисленный по. этим функциям матричный элемент
2it f
Р^ = —(V"V)
(интегралы вычисляются, как в задаче 3). Подставив это выражение в
(92,12), получим сечение излучения с рассеянием электрона в направлении р' (обычные единицы):
d%>' = -|^(v-v')2rfVp-ir'
где dciynp = f2 dop, — дифференциальное сечение упругого рассеяния. При
Йсо <С р*/2/л можно положить р т р', и тогда эта формула переходит, как
и следовало ожидать, в нерелятивистскую формулу для излучения мягких' фотонов (см. § 98) *).
Интегрируя (1) по направлениям р', получаем
. 2ар' , , , ,2\ da
da“ = l^(o+° )а™>1Г' (2)
где ауПр — 4л/2 — полное сечение упругого рассеяния. Наконец, умножив на Йо) и проинтегрировав по ю от 0 до р2/2т = &, получим «эффективное торможение»
Г ал ,
(3)
!) Тот факт, что «факторизация» сечения {выделение множителя Оупр), произошла в данном случае при произвольных ш, в известном смысле слу* чаен и связан с независимостью амплитуды рассеяния от энергии,
452
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
§ 93. Тормозное излучение электрона на ядре.
Релятивистский случай
Обратимся к тормозному излучению электрона на ядре в случае релятивистских скоростей электрона1). При этом будем предполагать выполненным условие применимости борновского приближения, т. е. как для начальной (у), так и для конечной (v') скоростей электрона: Ze2/Hv «С 1, Ze^/hv' <С 1. При этом во всяком случае заряд ядра не должен быть слишком велик: Z ос <С 1.
Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать отдачей ядра, так что ядро играет лишь роль источника внешнего поля (об оправдании такого пренебрежения см. § 97).
Согласно (91,4) сечение тормозного излучения выражается через его амплитуду формулой
da = 1 Mft I2 | dok do'da. (93,1)
В первом не исчезающем приближении матричному элементу Af.fi отвечают две диаграммы:
Свободный конец q соответствует внешнему полю, так что q = = р'— р + k есть 4-вектор передачи импульса ядру. Пренебрежение отдачей означает, что временная компонента q°— 0. Согласно диаграммам (93,2) имеем
Мп - —е2А(0е) (q) V е^й' (У Y° + Y° Trjffi Vй) и. (93,3)
Промежуточные 4-импульсы f = р — k, f' — р' + k\ введем обозначения:
/2 — т2 = — 2kp из — 2хсо, f'2 — т2 = 2kp' = 2х'а, (93,4)
Лое) — скалярный потенциал внешнего поля; для чисто куло-нова поля
4е)(Ч) = ^~• (93,5)
‘) Большая часть излагаемых ниже результатов была получена Бете и Гайтлером (Я. A. Bethe, W. Heitler, 1934) и независимо Заутером (F. Sauter, 1934).
§ 93]
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
453
Подставляя в (93,1), имеем для сечения
tev (u'Q^u) (UQvu') dob do' da, (93,6)
где
He рассматривая поляризационных эффектов, усредним сечение по направлениям спина начального электрона и просуммируем по поляризациям конечных электрона и фотона. Это сводится к замене
Вычисление следа производится по стандартным формулам (см. § 22). Некоторое упрощение выкладок достигается использованием равенства
где р=(е,—р), если р = (е, р). Кроме того, число подлежащих вычислению членов можно сократить, если учесть симметрию по
отношению к замене р-*-*-р', k-*-----k, q-*---q (такая замена
приводит лишь к циклической перестановке множителей в произведении матриц и поэтому не меняет его следа).
В результате получается следующее выражение для дифференциального сечения тормозного излучения с испусканием фотона заданных частоты и направления и с вылетом вторичного электрона в заданном направлении ‘):
<?ev (u'Ctu) (uQV) -> — -g- Sp Q„ (yp -f m) Q1* (yp' + m).
y° (yp) y° = yp,
7. CL Г - л " и. 4 А гл
da
где
x — e — np, y! = e' — np' (n = k/co), q = p' + k — p.
•) Здесь и ниже в этом параграфе р, р', q обозначают абсолютные значения трехмерных векторов: р — |р|, р' = |р'|, q — |q|.
454
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
Простыми преобразованиями можно придать этой формуле вид, несколько более удобный для исследования:
_о о , I о
Z art. dts) р т.
da = — -j^pr sin QdQ sin 0 dQ dq> X
X {-^r (4e2 — q2) sin29' + Дг (4e'2 — q2) sin2 0 +
