Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
w —
\в\ 3Я
\А. И. Никишов, В. И. Ритус, 1967).
В предельном случае слабых полей (х<§;1) в интеграле
(91,10) существенны значения х вблизи нижнего предела. Поскольку эти значения велики, можно воспользоваться асимптотическим выражением для функции Эйри
(см. III, § Ь). Введя переменную интегрирования у = х,,г — 4/и и положив у = 0 везде, где это возможно, получим в результате
§ 92] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 439
вычисления
31г\е\3и w — —тг— ехр 2 /!т *
(_i), к<1. (91,11)
Экспоненциальное убывание вероятности при «->-0 отвечает невозможности рождения пар в классическом пределе.
В обратном предельном случае сильных полей (к??>1) в интеграле (91,10) существен только второй член, причем он определяется областью значений х, в которой хг/‘ ~ l/x 1. В этой области можно заменить функцию Ф'1*) ее значением
Использовав значение интеграла
у--1 (у- I)»-1 iy -¦r|v 7-Й,Г00 .
-----------r(v)
1
получим
3У«.5Г2(2/3) |е18Я_03р1Д|8Я ,91 12)
2^.7^ (7/6) тк'< > " ' К>1*
Функция mw(y)/\e\bH имеет максимум, равный 0,11, при х « 11.
§ 92. Тормозное излучение электрона на ядре.
Нерелятивистский случай
Этот и несколько следующих параграфов посвящены важному явлению тормозного излучения, сопровождающего столкновения частиц. Начнем с нерелятивистского столкновения электрона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным, т. е. рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом поле неподвижного центра {A. Sommerfeld, 1931).
Исходим из формулы (45,5) для вероятности дипольного излучения
dw = -^\e'dfl?dok. (92,1)
В данном случае начальное и конечное состояния электрона относятся к непрерывному спектру, а частота фотона
где р — mv и р' — mv' — начальный и конечный импульсы электрона. Если начальная и конечная волновые функции электрона нормированы на одну частицу в объеме V = 1, то выражение
440 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
(92,1), умноженное на d3p'/(2я)3 и деленное на плотность падающего потока, v/V = v, даст сечение dcxkp- излучения фотона к в телесный угол doк с рассеянием электрона в интервал состояний d3p'. Заменив матричный элемент дипольного момента d — ex матричным элементом импульса согласно
а 1 е
^ ко т
запишем выражение для сечения в виде *)
dakp'= 1 e’Dfl |2 d0kd3P'> (92> 3)
где
P/i = J ^Р^М3* = — i J ^^(Рх.
В качестве г|), и г|^ надо воспользоваться точными волновыми функциями в кулоновом поле притяжения, причем теми функциями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и
сферическую волны; в г|з/ сферическая волна должна быть сходящейся, а в г];,- — расходящейся (см. 111, § 136). Эти функции имеют вид
¦ф, == A^F (iv, 1, i (рг рг)), v = —— ;
_ 2 (92,4)
= Afeip'rF (—iv', 1, —/ (p'r + p'r)), v' = —
c нормировочными коэффициентами
At — e5lv/2r (1 — iv), At=e™'l2r{l Jr iv'). (92,5)
Заметив, что
VF (iv, 1, / (pr - pr)) = / (p f - p)F'= (~)v.
запишем V<p,- в виде
¦V^ = /P^_^elp»i(45r)w.
При умножении на г|^ и интегрировании первый член обращается в нуль ввиду ортогональности г|5/ и iff. Поэтому для матричного элемента р/, имеем
pfi = lA,Afp-(92,6)
где
f e~l<V
/==3~Т—F(iv', 1, i(p'r + p'r)) F(iv, 1, / (pr — pr)) d3x, (92,7)
q = p' — p.
*) В этом параграфе .обозначаем р= |р|, р' = |р'|.
§ 92]. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ СЛУЧАЙ 441
Мы вынесли д/др из-под знака интеграла, подразумевая, что при дифференцировании J величины v, v', q должны рассматриваться как независимые параметры и лишь после проведения дифференцирования следует выразить v и q через р.
Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожденных гипергеометрических функций их выражениями в виде контурных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат1):
J = BF(iv', iv, 1, г),
В — 4ле~лу/ (—q2 — 2qp)~lv (q2 — 2qp/)~‘v' (q2)‘v ri'v'-i>
_ о q2(pp' + pp') — 2(qp) (qpr) /qo o\
(q2 2qp') (q2 + 2qp) •
Здесь F(iv', iv, \, z)—полная гипергеометрическая функция.
После дифференцирования в (92,6) можно положить q = = р'— р; при этом
г = ¦ Ц2 = (р-рУ(\~г) (92,9)
(г <с 0). Отметим также, что
— q2 — 2qp = q2 — 2qp' = p2 — p/2 > 0.
В результате находим для матричного элемента следующее окончательное выражение:
, , 8те~т ( р + р' \-‘’<v+v')
Р ft — A,Af {р _ ру {р + р,)[р_р,) X
X (1 _ 2у (v+vo-1 [tvpqF^) + (1 - z) F' (z) (р'р - рр')], (92,10)
где для краткости обозначено
F (z) = F (iv', iv, 1, z). (92,11)
Сечение получается подстановкой (92,10) в (92,3), но общая
формула очень громоздка и трудно обозрима. Поэтому мы сразу перейдем к вычислению спектрального распределения излучения, т. е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и конечного электрона.
Интегрирование по йоъ и суммирование по поляризациям фотона сводится к усреднению по всем направлениям е и умножению на 2-4л, т. е. к замене
, , 8я . e,ekdok
После этого сечение
I PH f |?г= IР» Г(92,12)
) Вычисления см. Nordsieck i4.//Phys. Rev. — 1954. — Vol. 93. — P. 785,
442 ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ, X
Квадрат Jp/;|2 вычисляем, используя (92,9—11) и учитывая, что lr(l-/v)J2=^.
Получаем
