Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
3) Подставив
VnV)-Vfi ехр (<шflt),
получим Оц = 2лУцб(ч)п). Учитывая, что квадрат б-фушшии надо понимать как
[б (со)]2 -> (//2я) б (со),
где t— полное время наблюдения (ср. вывод (64,5)), получаем из (90,7J| для вероятности в единицу времени формулу (44,3).
428 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
(ср. III (41,2)); суммирование производится по конечным состояниям электрона.
Использовав (90,6), запишем матричный элемент для испускания фотона to, к в операторном виде
V 4гс
X 5 [*;«ч> ( { ш) («•«) -дат «р(-7 #')
где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множители exp(dziHt/ti) превращают стоящие между ними шрединге-ровские операторы в зависящие явно от времени операторы гейзенберговского представления. Запишем Vfi(t) в виде
V
где Q(t) обозначает гейзенберговский оператор
(2 Н)'^ ’ (2 Я)
а матричный элемент берется по отношению к функциям rpf, ф,.
Суммирование в (90,7) производится по всем конечным волновым функциям ф^; оно осуществляется с помощью равенства
Z <р}(г')ф,(г) = й(г' —г),
выражающего полноту системы функций ф^. В результате получим
dw
= eiait'~h\l IQ+ (У Q (ti) 10. (90,9)
Если интегрирование производится по достаточно большому промежутку времени, можно ввести вместо t\, t2 новые переменные
__ ^1+^2
12 — (Ь i —-------------
и в интеграле по dt рассматривать подынтегральное выражение как вероятность испускания в единицу времени. Умножив ее на htо, получим интенсивность
dl = -^ d3k J e-la\i IQ+ (f + у) Q (t ~ i) I 0 dT. (90,10)
§ 90] МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 429
Ультрарелятивистский электрон излучает в узкий конус под углами' 0 ~ т/е относительно его скорости v. Поэтому излучение в заданном направлении п = k/оо формируется на участке траектории, на котором v поворачивается на угол ~т/ъ. Этот участок проходится за время т такое, что т | v | « т<о0 ~ m/e <С 1. Именно эта область даст основной вклад в интеграл по т. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем систематически разлагать все величины по степеням coot. При этом, однако, может оказаться необходимым сохранять более чем один старший член разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что 1 — nv ~ 02 ~ (т/е)7.
Если привести оператор Q+Q к виду произведения коммутативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диагонального матричного элемента </|...|/> сведется к замене этих операторов классическими значениями (функциями времени) соответствующих величин. Эта цель достигается следующим образом.
Согласно сказанному выше, в выражении для Q(t) надо учитывать некоммутативность электронных операторов лишь с оператором ехр [—tkr(/)], связанным с фотонным полем. Имеем
р ехр (— /кг) = ехр (—/кг) (р — йк),
/~\ / \ (90,п)
Н (р) ехр (—/кг) = ехр (—/кг) Н [р — ftk).
Эти формулы — следствие того, что ехр(—/кг) есть оператор сдвига в импульсном пространстве. С помощью (90,11)- выносим в (90,8) оператор ехр(—tkr (/)) налево и записываем Q(t) в виде
Q (0 = ехр [—/кг (/)] R (0) ?W = Ti^(ae*)-j^' (90,12)
где Н' = Н — Ьш, p' = p — fik.
Теперь
Q^Qi = ?2 ехр (/кг2) ехр (—/кг 1) Ri (90,13)
(здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в моменты времени t\ = t — т/2 и t2 = t -\-т/2). Остается вычислить произведение двух некоммутативных операторов exp(/kr2) и ехр(—/krt). Само это произведение уже можно считать коммутативным с остальными множителями.
Обозначим
L (%) — ехр (—/ют) ехр (/kr2) ехр (—/krt); (90,14)
430 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
именно эта комбинация операторов входит в (90,10). По смыслу
оператора ехр (Шт/Й) как оператора сдвига по времени имеем
ехр (/kr2) = ехр {j.H ехр (/krj) ехр iH •
Подставив это выражение в (90,14) и учтя, что exp(/krj) есть оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем L к виду
L (т) = ехр {г [Н — йсо] j ехр j—iH (р, — fik) j. (90,15)
Продифференцировав (90,15) по т и снова использовав свойства оператора сдвига по времени, запишем !)
= 7Г ехР {г $ “ [Я — йю — Я <р, — Irk)} X
X ехр j—/Я (pi — йк)~| [Н — Й<й — Н (р2 — йк)3 L (т). (90,16)
После того как некоммутативность операторов таким образом использована, можно заменить все операторы соответствующими классическими величинами (в том числе гамильтониан Й энергией электрона е). Имеем тождественно
е (р2 — йк) = [ (р2 — йк)2 + т2]',г = [(е — йсо)2 + 2Й (сое — кр2)]1/г. Разность
сое — кр2 = сое (1 — nv2)
мала, поскольку, согласно сказанному выше, 1—vn ~ (т/г)2. С точностью до первого порядка по этой разности имеем
е (р2 — йк) « е' + -|г й (со — kv2),
где е' = е — Йсо. Из (90,16) находим теперь дифференциальное уравнение для функции L{%)\
/f7-~| = ffi(co-v2k)L. (90,17)
*) В силу сохранения энергии гейзенберговские операторы Н (pi) и Н (рг) совпадают, поэтому в таких случаях аргумент у Я не пишем. Но, конечно, — йк) отнюдь не совпадает с Н (рг — hk).
§90}
МАГНИТОТОРМОЗИОЁ ИЗЛУЧЕНИЕ
431
Это уравнение должно решаться с Очевидным начальным усло~ вием L(0)= 1. Заметив, что
До сих пор мы не использовали конкретного вида траекто» рии электрона. Выразим теперь г2— п в (90,18) через р; с по< мощью уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной полю Н (см. II, § 21):
