Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
где
й=1-ттт^(1+52)2’ б = —: (96>2°)
Адгггг ¦ m
здесь использовано, что в области II (см. (96,2)) параллельная р компонента вектора q
= q^ -^d + б*)2. (96,21)
В этом легко убедиться, если учесть, что в указанной области углы между импульсами 'р, р' и к удовлетворяют условиям
(93,15).
Гипергеометрическая функция в (96,19) может быть сведена к функции F(z) (95,15) с помощью формулы
F (а, 6+1, с+1, z)^T^F(a, Ь, с, z) + -{^J^F' (а, Ь»с, г).
Окончательный результат представится тогда в виде
. do = dobT^[F2(z)+ (I~^-r*(z)], (96,22)
где daб— борцовское сеченне (93,13) (И. A. Bethe, L. Maximon, 1954). При q'&iTp/e имеем г « 1, так что весь коэффициент при <2стб стремится к единице. В этом смысле формула (96,22), выведеннаядля области II, автоматически справедлива при всех q <^. m. Когда q c<m2/e н поправочный множитель в (96,22) отличен от единицы, векторы р, р_', к почти компланарны и вели»
К/2) Г (1 - Я/2) 2
Q+Я Чт-'-т-
ь2
\
У
§ 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРЛРЕЛЯТИВИСТСКИП СЛУЧАИ 479
чины 6 и б' почти равны друг другу; это уже было учтено в
(96,22). Таким образом, q в выражении (96,20) для z может быть переписано как
-4 = б2 + б'2 -2 66' cos Ф + (1 + б2)2, (96,23)
га2 4е2е
т. е. можно положить б = б' во втором члене в (93,14), но не в первом члене, который не .содержит малого коэффициента (~т2/е2).
Для нахождения интегрального (по углам) сечения излучения нет необходимости производить интегрирование заново, как это ясно из следующих рассуждений (Н. Olsen, 1955). Различные направления р' (при заданной энергий е') отвечают вырождению конечного состояния электрона. Очевидно, что результат суммирования по состояниям, относящимся к одному вырожденному уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран полный набор этих состояний. Мы можем поэтому воспользоваться для целей суммирования по направлениям р' системой функций вместо системы (необходимой для вычис-
ления дифференциального сечения), т. е. определить матричный элемент тормозного излучения как
«T-iCwrX1*-
Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом (М1Г)\ если в последнем заменить параметры волновых функций согласно
Р+, Р+, е+ -> — р, — р, — е; р_, р_, е_ -> р', р', е'; к -> — к
(а также заменить переменные интегрирования: г-»—г).
Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозного излучения можно получить из интегрального сечения образования пары (95,20), умножив последнее на
со3 dot ^ со2 da Р% dв+ е2+ de +
г(ср. (91,6)) и заменив е+->-— е, Таким образом, найдем
*г = 4Z4rl -f (f + -i. - 4) [li U -1 - f <«Z)] •?.. (96,24)
Мы видим, что поправки к борновским формулам для интегральных сечений тормозного излучения и образования пары даются одной- и той же функцией f(aZ).
Формула (96,24), не связанная с какими-либо ограничениями на величину Za, допускает переход к классическому пределу] й->0, Za-voo. В этом пределе надо также положить е да е*.
480 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
Имея в виду асимптотическое выражение Ч'Чг)« In z при |z|—>-оо и значение Чг(1) = —С (С — постоянная Эйлера), находим для эффективного торможения
IfiZVe2 Г 2е2 1 1
= (96>25) Это выражение, не содержащее Ь, есть классическое спектральное распределение интенсивности тормозного излучения.
§ 97. Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае
Тормозное излучение электрона на электроне изображается восемью диаграммами Фейнмана: четырьмя диаграммами
-----'**---f*-----Pj ph----------Г----------Pt (97>la)
I !
Рг*-----U------Рг Рг*---------U-----Рг
p'*------pe-----p, tf*----------^------p,
I j
pH--------Г*-----^------Рг Рг*----------<------F-----Рг (97,16)
^ к \ k
и четырьмя «обменными» диаграммами, получающимися из изображенных перестановкой р( и р'2. Мы приведем здесь -результаты вычислений для ультрарелятивистского случая (G.Altarelli, F. Buccella, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966)').
В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из начальных электронов, — скажем, второго) интегральное по направлениям фотона сечение излучения может быть представлено в виде суммы da = da-f da^, где
daiU = 4ar2 JLzHL f_L_ + JLz^. _ 1) Ы _ 1 V
e CO 8 4 8— CO 1 8 ЗА men 2 J
(97,2)
, ,9, 2 , mrfa (/. m . m2 \ , 2e n . 2m 5m11
doiv = - ar2 1(4 - - + j 1 n — - 2 + — - -g^r }
при co^-y; (97,3)
Соответствующие вычисления можно найти в указанной на с. 457 книге Байера, Каткова и Фадина.
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ
481
f 1 —+ 4-) In — — Г1 - Inf 1
3 т тг ) to V. т J ч
Г т3____т2 , 3 т __~ , 4со 1___ т2 ,3т ~ , 2ш 4ш21
L 4ш3 2ш2 "т" to "т" т J 2ш2 ^ 2ш ^ т т2 j
при С0<-^- (97,4)
(е — начальная энергия первого электрона).
Точность этих формул — до членов относительного порядка т/г. С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом смысле dam и da(2> отвечают излучению каждым из двух электронов— соответственно быстрым электроном и электроном отдачи (диаграммы (97,1а) и (97,16)).
Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение, как и диаграммы «прямые». В силу тождественности электронов суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разделить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности частиц. Для столкновения же электрона с позитроном вместо обменных фигурируют аннигиляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказывается относительного порядка т/г, т. е. пренебрежим. Поэтому с указанной точностью сечения тормозного излучения при столкновениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы.
