Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
При со т отношение
da(2) т ^ .
т. е. излучение электроном отдачи мало по сравнению с излучением быстрым электроном (когда это отношение достигает порядка т/г, формула (97,3), разумеется, теряет смысл). Напротив, при со <<т обе части сечения почти сравниваются:
dali> = 4т-ал2 — In da{2) =4r-a/'2 — In —, со <т. (97,5)
3 в to тш 3 е to to v > /
Для справедливости формул (97,2—5) необходимо, чтобы хоть один из электронов после излучения оставался ультрареля-тивисгским. Другими словами, частота фотона должна быть достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от максимальной частоты сошах, которая может быть излучена. Конечная энергия электронов будет минимальна, а энергия фотона максимальна, когда оба электрона движутся после излучения в направлении фотона и имеют одинаковые скорости. Тогда из законов сохранения имеем
в т = wItlax -{- 2е , | р j = comaj( 21 р [.
482 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ электронов С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
Исключив отсюда е' и р', получим
(е + т — сотах)2 — (|р| — comax)2 = 4m2,
откуда
fTl (в ' ttl) r*\
“max = m + e _ | p j • (97,6)
При e m имеем tomax « e. Таким образом, формулы (97,2—4) справедливы при условии
“max — со ~ е — со » т, (97,7)
Сечеяие излучения быстрым электроном (97,2) в точности совпадает с сечением излучения электрона на ядре с Z= 1 (формула (93,17)). Это совпадение не случайно, и его причины выясняются из анализа роли отдачи в процессе излучения.
При выводе формулы (93,17) мы пренебрегли отдачей неподвижной частицы (ядра) — изменили ее постоянным внешним полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой 4-вектора передачи импульса q — p'— p-\-k (энергией отдачи). Покажем, что в ультрарелятивистском случае такое пренебрежение допустимо при излучении электроном не только на ядре, но и йа электроне.
Напишем q2 в виде
— q2 = — (е' + to - е)2 + (pj + со — р,)2 + (р'± — р±)2, (97,8)
где нижние индексы указывают компоненты векторов р' и р (на' чальный и конечный импульсы электрона), параллельные и перпендикулярные направлению фотона к. В ультрарелятивистском случае углы 0 и 0' (между к и соответственно р и р') малы: 0 с<: т/в, Q' с<; т/г'. Поэтому
|p±|~|p|e~m, (97,9)
и аналогично для р^, р'.
Без учета отдачи имеем г! + со — s = 0; разность pj| + со—
— ~ т2/г, так что
-?2~(р'х-рх)2~ю2. (97,10)
Энергия отдачи (на электроне):
<7о = е7 + © е ~ q2/2т ~ т. (97,11)
Изменением же р'± из-за изменения е' можно пренебречь. По-
этому первые два члена в (97,8) дают изменение q2 при учете
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ
483
отдачи; обозначим его Д<72. Используя (97,9), получаем
( т2 Р± т2 Р2г ^ т
Сравнив с (97,10), мы увидим, что Д<72<с|<72|, чем и оправдывается пренебрежение отдачей ').
Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус (с углом раствора ~т/е) в направлении своего движения, позволяет получить сечение излучения в системе центра инерции путем простого пересчета сечения (97,2) из лабораторной системы2).
В системе центра инерции оба электрона излучают одинаково, каждый в направлении своего движения (это обстоятельство наглядно объясняет причину отсутствия интерференции между излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелятивист-ского электрона в системе центра инерции связана с его энергией е в лабораторной системе соотношением 2Е2 = те, а частоты Q и и фотона в этих системах — соотношением со/е =Q/Е (эти равенства легко получить, сравнивая значения инвариантов \p\pi) и (pik) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым из электронов в системе центра инерции находим
do<l> = da(2> =
. , da ? — Q / ? . E — Q 2W. 4E2 (E — Я) 1 \
= 4<1г-г-1таг + -Ё------------------зН1п—ш---------------т)*
(97,12)
Для применимости (97,12) также необходимо, чтобы частота фотона не была близка к границе спектра. Для ультрареляти-вистской частицы указанное выше преобразование прямо дает
ИЗ СОтах ^ 6
Йтах “ “тах^/е ~ Е. (97,13)
Таким образом, в системе центра инерции электроны могут излучить лишь половину своей полной энергии 2Е. Прямое вычисление Й.-nax легко произвести, заметив, что после излучения такого фотона электроны будут двигаться (в той же системе) с одинаковыми скоростями в направлении, обратном направлению фотона. Имеем
2? = 2?' + Отах, 2 ( р71 == Qmax,
') Это заключение, разумеется, тем более справедливо для излучения электроном на ядре, дтя которого энергия отдачи qо » qV2M ~ гг,г/М, где М — масса ядра.
*) В общем случае такой пересчет невозможен, поскольку вклад а спектр в заданном интервале частот da> возникает от фотонов, излученных в существенно различных направлениях.
484
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
откуда
йта = (97,14)
и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97,13). Таким образом, формула (97,12) применима при условии
йтах — й ~ Е — й » т. (97,15)
Приведем теперь формулы для излучения в системе центра инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спектра, когда ’)
йшах~ ?2<т. (97,16)
Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и оказываются различными для электрон-электронного и электрон-позитронного рассеяния (В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1967). 1
