Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
d"yp-7" <98-17)
В действительности же при достаточно малых со вероятность излучения не мала, а вероятность излучения двух и более фотонов не меньше, а больше вероятности излучения одного фотона. В этих условиях выражение (98,17) останется справедливым, но классическая интенсивность dl будет определять не вероятность излучения одного фотона, а среднее число излученных фотонов
dn=-J-, (98,18)
или, в конечном интервале частот,
оh
Я= S 1Г- (98>19)
Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо (это справедливо во всех приближениях теории возмущений), к процессу множественного излучения можно применить формулу Пуассона: вероятность w(rt) излучения п фотонов выражается через среднее число п формулой
ш(л) = -^гехр(-п). (98,20)
Представим сечение процесса рассеяния с излучением фотонов в виде
da = doynp ¦ w (п). (98,21)
Поскольку 2®(п) = 1. т° doynp представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Это обстоятельство очевидно из классического рассмотрения; по
§ 98] ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ 491
теории же возмущений daynp есть сечение чисто упругого рассеяния. Но теория возмущений здесь неприменима. Получается так, что dcTynp, вычисленное по теории возмущений как сечение упругого рассеяния, в действительности учитывает излучение любых мягких фотонов. Что же касается сечения чисто упругого рассеяния, то оно в действительности равно нулю: при cai->0 среднее число п->оо, и согласно (98,20) обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов1).
Задачи*)
1. Найти спектральное распределение тормозного излучения мягких фотонов при рассеянии ультрарелятивистского электрона на ядре.
Решение. Интегрирование формулы (98,8) по dok дает
dc = aF (%) dOynp, (1)
где
0
f® = T[T^"<* + VPTD-.]. ,-JjU
2 <2>
(p—импульс, 0 — угол рассеяния электрона). В ультрарелятивистском случае основную роль играет область углов
m2“<0<— (3)
е
(нижняя граница — условие (98,10), о верхней границе см. ниже). При этом | « е0/2т С 1, так что
F (!) * (8/Зл) I*
а сечение упругого рассеяния электрона на ядре (см. (80,10)) Интеграл
j .г,ч 2 т2 do ...
rfffynP И)
. rf(D f
J
16 „2 2 I ^6
d°a= T Z are a, j 0
логарифмически расходится; он обрезается снизу на углах 0 ~ т?со/е3,
а сверху — при ? ~ 1, т. е. на углах 0 ~ т/е (при |-*-оо
я
так что интеграл сходится). Таким образом, с логарифмической точностью находим
. 16 _2 2 da - е2 ...
da.. = — Zzari-------In----- (5)
“3 «со ma> v ’
x) Мы вернемся еще к обсуждению этой ситуации § 136 в связи с изучением радиационных поправок.
г) Приведенные ниже применения формулы (98,7) принадлежат В. Н. Байеру и В. М. Галицкому (1964).
492
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
— в согласии с логарифмической частью формулы (93,17) (в которой надо положить е я* е'). Достичь нелогарифмической точности можно, лишь выйдя за пределы квазиклассической области.
2. Для столкновения двух ультрарелятивистских электронов определить (в системе центра инерции) сечение одновременного испускаиия двух мягких’ фотонов в противоположных направлениях под малыми углами к импульсам, электронов.
Решение. Фотоны, летящие в противоположных направлениях, испускаются различными электронами, каждым в направлении своего движения. Сечение одновременного излучения
где е — энергия каждого из электронов, 0 — угол рассеяния в системе центра инерции, одинаковый для обоих электронов (поскольку фотоны испускаются заведомо в различных направлениях, вводить в сечение множитель '/г не надо). Сечение упругого рассеяния электронов на малые углы в системе центра инерции в ультрарелятивистском случае совпадает с (4) (ср. (81,11)). В отличие от (1) сечение (6) ведет себя при 0->-О как 0 dQ, так что интеграл сходится. С одной стороны, это обстоятельство позволяет проводить интегрирование до 0 = 0 (не заботясь о возможном нарушении условия применимости метода). С другой стороны, основной вклад в интегральное сечение дает - теперь область 0 ~ т/е (а не 0«ш/е), так что надо пользоваться точным выражением (2), Результат интегрирования сечения по углам рассеяния:
(кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграммы). Диаграмма а) изображает столкновение фотона k (k2 = 0) с некоторой частицей с 4-импульсом q (и массой т\ q2 = m2). В результате столкновения образуется система (частица или группа частиц) с общим 4-импульсом Q. Диаграмма б) изображает столкновение той же частицы q с другой частицей, 4-импульс которой р, а масса М (р2 — М2). В результате столкновения эта последняя частица приобретает 4-импульс р' и образуется та же система Q. Второй процесс можно рассматривать как столкновение частицы q с испущенным частицей р виртуаль-
(6)
da,
а> I ©г
_2_2 d(i>2 г еа
е ©1 ©2
С? — функция Римана; ?(3) = 1,202).
§ 99. Метод эквивалентных фотонов
Сравним два процесса, описываемых диаграммами:
(99,1)
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
493
ным фотоном, импульс которого k = p— р' (&2<0). Если при этом \к2\ мало, то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевидно, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновениях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью и « 1, почти поперечно и потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сечение процесса а)1).
