Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
502
взаимодействие электронов с фотонами
[ГЛ. X
виртуального фотона1). Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запишется в виде
м»=МГ”i (-иг- -иг)”45-I-“(“-V""*)]. (1оо,8)
где q = (0, q), q — М (v' — v).
Как обычно, в нерелятивистском случае фотонный пропагатор следует выбрать в калибровке (76,14). По амплитуде
(100,8) находим сечение процесса:
(Z Z \2 d3p d3p
~М\~~щ) 2е+2е_ (2я)+6 <й*(ю2 — к1)3 Р-
(100,9)
где
ю = е+ + е_, k —р+ + р_, Q = q—4-k(qk);
dopacc — сечение упругого рассеяния ядер друг на друге (в системе их центра инерции). Оно дается формулой Резерфорда2)
М2 do dduda*
dopacc = 4 (ZjZ2e2)2 -p- ~ 4(Z,Z2e2)2-^ (100,10)
(приближенное равенство предполагает малость отклонения ядер от их начального направления движения — оси х). Подставив это выражение в (100,9) и произведя обычным образом суммирование по поляризациям пары, получим
da = (Z[Z2e2)2 Д- (— -^-)2 Sp {(ур_ -f m) (vQ) (\p+ — m) (\Q)} X
d*P+d*p_ dqy dq,
X 4я4е+8_Ч4(ш2-к2)2<в2 ' UWU
Дальнейшее вычисление производится в приближении, в котором все возникающие при интегрировании логарифмы считаются большими величинами. Мы увидим, что с этой точностью
*) В нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с изменением импульса излучающих частиц (]6р| ~ ы/о), и потому им можно пренебречь (по сравнению с бр) даже тогда, когда не пренебрегаем энергией фотона. Это тем более относится в данном случае к виртуальному фотону, для которого к2 = (р+ + р-)2>0, так что |к| < ш, В этих условиях разница между реальным и виртуальным фотоном исчезает, чем и оправдывается использование формулы (98,13).
2) Диаграммы (100,6) соответствуют борновскому приближению для
рассеяния ядер. Однако поскольку формула Резерфорда точная (для ку-
лонова взаимодействия), то справедливость полученных результатов в действительности не требует соблюдения условия применимости борновского приближения.
g 100J ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ 503
основную роль играют энергии пары е+, т и углы 0 между р+ и р_ в области
т/е<0«1. (100,12)
С соответствующими пренебрежениями вычисление следа в (100,11) дает
Sp {...} = 4 [(е+е_ — р+р_) (q2 — +
2е ^ 2ак *1
+ 2 (p+q) (p_q) + (qk)2---— (e+qp_' + e_qp+)J,
причем можно положить: |p+| = e+, | p_ | — e_. В знаменателе же
ш2 — к2 е+е_02 + тг-^+
8+е-
Интегрируя по направлениям р+ и р_ при заданном угле между ними, получаем
^“•5(ж - &)У++ti-)*+ *- X
X-f------ы-1% у у V- (100'13)
Вид зависимости от 0 подтверждает предположение (100,12),
в интегрирование по 0 дает In т ^ +^7е у- Интегрирование же
последнего множителя в (100,13) производится в пределах от Я^ — Яг — 0 до <\Jql + ql ~1 /R, где R — величина порядка радиуса ядер (это значение соответствует наименьшим прицель< ным расстояниям — см. ниже); это интегрирование дает
nln(^ + ^ + ^) - ' 1
2я1п
чу=</г=о
ЯЧх ¦
С другой стороны, полная энергия пары, равная изменению энергии ядер, есть
е = (е+ -f e_) = ^-(v'2 — v2) » Mv(v'x — vx) = vqx,
откуда qx = е/у. Таким образом, находим
16 . e4m2 / Zn Z, Y* е+ + e2_ f v ] e+e_
504
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ, X
а после интегрирования по е+ или е_ при заданной сумме е:
do = §(Z,Z^f ( *. - i„ |„ ± 01. (100,14)
Энергии e можно привести в соответствие прицельное расстояние р ~ v/e (энергия пары — порядка частоты, отвечающей времени столкновения). Поэтому логарифмическая расходимость при интегрировании по е в (100,14) означает такую же расходимость по прицельным расстояниям. Это значит, что существенны большие р (тем самым, кстати, оправдывается использование сечения рассеяния (100,10) в чисто кулоновом поле ядра). Соответственно существенна область энергий: ш « е < «С v/R. Интегрирование (100,14) дает полное сечение образования пары; окончательно (в обычных единицах)
(Е. М. Лифшиц, 1935)1),
§ 101. Излучение фотона электроном
в поле интенсивной электромагнитной волны
Применимость теории возмущений к процессам взаимодействия электрона с полем излучения предполагает (помимо малости константы взаимодействия а) также достаточную слабость этого поля. Если а — амплитуда классического 4-потенциала поля электромагнитной волны, то характерной величиной в этом смысле является безразмерное инвариантное отношение
| = е V — а2 !т. (101,1)
В этом параграфе мы рассмотрим процессы излучения, возникающие при взаимодействии электрона с полем сильной электромагнитной волны, для которой I может иметь любое значение. Применяемый метод основан на точном учете этого взаимодействия; взаимодействие же электрона с новыми испускаемыми фотонами может по-прежнему рассматриваться как малое возмущение (А. И. Никишов, В. И. Ритус, 1964).
Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для определенности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем в виде
А — щ cos ф + а2 sin ф, <p = kx, (101,2)
*) Числовая ошибка исправлена J1. Б. Окунем (1953).
§ 101] ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 505
где k^ = (со, к) — волновой 4-вектор (/г2 = 0), а 4-амплитуды а.\ и а,2 одинаковы по величине и взаимно ортогональны:
