Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
k[k2 = 2m{m — со3), ...
(89,12)
4
поляр
do 3Y
d3k{ d3k2 -» 4ясо^ cfoj • 2ясо\d (cos 012) efo2,
co3 = д/cof + a)2 + 2(^0),, cos 012,
находим
dio3.
Интегрированием no a>3 устраняем вторую б-функцию. В результате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов
5'90]
МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
425
с заданными энергиями в виде
1 8е3 f ( т — со3 \2 , (т
dd*y 6 vm2
{f + f^LZ=^»y + da d&2
IV Ш!Ш2 / V COlCOs / V Ш2Ш3 J }
(89,14)-
(имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы ввели сюда множитель ’Д, учитывающий тождественность фотонов — ср. примеч. на с. 287).
Каждая из частот (оь со2, «з может пробегать значения между 0 и т (значение т достигается двумя частотами, когда третья равна нулю). При заданном сох частота со2 меняется между т — ©j и т. Интегрируя (89,14) по со2 в этих пределах, получаем спектральное распределение F(<o,) фотонов распада:
da3y = -3^? F (©1) dau
Р(щ) = +
со, (т ¦
ч+
(2 т — fflj)
2т — a>i . Г 2т(т ¦
¦со,)
2т (т — Ш])2 (2 т —
In-
to,
Рис. 14
0 до
Функция F(©i) монотонно возрастает от нуля при coi 1 при Ш] = т\ на рис. 14 изображен ее график.
Полное сечение аннигиляции получается интегрированием (89,14) по обеим частотам:
а3у:
4е6
Зо/тг
т т
\
О т- o)i
(СО] + ci>2 — tn)2
d&2-
12
Стоящий здесь двойной интеграл равен (jt2 — 9)/3, и мы приходим к приведенной выше формуле (89,6).
§ 90. Магнитотормозное излучение
Согласно классической теории (см. II, § 74) ультрареляти-вистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле Н, излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходя-, щимся на частоту
(90>1>
426
ВЗЛИМОДЕЙСТ&ИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
где
<90-2>
— частота обращения электрона с энергией е по круговой орбите (в плоскости, перпендикулярной полю)1). Будем считать, что продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна нулю; этого всегда можно добиться надлежащим выбором системы отсчета.
Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют двоякое происхождение: квантование движения электрона и квантовая отдача при испускании фотона. Последняя определяется отношением йсо/е, и условие применимости классической теории требует его малости. В этой связи удобно ввести параметр
// I р| Яе ftcoo / в \3 /оп ча
Х = 177 ~fhm ~еГ V~m) ’ <90>3)
где Н0 = т2/\е\Ъ,(=т1сгf\e\fo) — 4,4-1013 Гс. В классической области х ~ Йсо/е «с 1. В случае % 1 энергия излученного
фотона h<s> ~ е, причем при % 1 (как мы увидим в дальней-
шем) существенная область спектра простирается до частот, при которых энергия электрона после испускания
е'~т^-<е. (90,4)
Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле должно удовлетворять условию
(90,5)
Что касается квантования самого движения электрона, то оно характеризуется отношением /ш0/е; Нщ есть расстояние между соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле. Поскольку
/гсоо Н ( п \2
е ~ Л7\Т) ’
ввиду (90,5) заведомо 7ш0 е, т. е. движение электрона ква-зиклассично вне зависимости от значения %. Другими словами, можно пренебречь некоммутативностью операторов динамических переменных электрона друг с другом (величины tsttimо/е),
’) В этом параграфе полагаем с — 1, но сохраняем множители Н.
МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
427
учитывая в то же время их кекоммутативноеть с операторами фотонного поля (величины ~Йсо/е)1).
Квазиклассические волновые функции стационарных состояний электрона во внешнем поле могут быть представлены в символическом виде
= (2Н)~'и и (р) ехр (- 1 Ht) Ф (г), (90,6)
где ф (г) ~ ехр {iS/h)—квазиклассические волновые функции бесспиновой частицы (S(г)—ее классическое действие); и(р)— операторный биспинор
«о»=( fH+iiw~ у
V (И + т) h (о>р) w J
получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны и{р)
(23,9) заменой р и е операторами2)
р = Р — еА = —/fiV— еА, Н = (р2 + т2)'1'',
Р — обобщенный импульс частицы в поле с векторным потенциалом А(г); порядок, в котором стоят операторные множители в \|з, несуществен, поскольку их некоммутативностыо мы пренебрегаем; спиновое состояние электрона определяется 3-спинором w.
Для вычисления вероятности излучения фотона в квазиклассическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы теории возмущений (44,3), а из формулы, в которой еще не произведено интегрирование по времени. Для полной (за все время) дифференциальной вероятности имеем3)
оо
dw = ? I Of12 -Ц-. an=\vu (t) dt (90,7)
f -CO
') Полное решение квантовой задачи о магннтотормозном излучении было дано Н. П. Клепиковым (1954), а первая квантовая поправка к классической формуле— А. А. Соколовым, Н. П. Клепиковым и И. М. Терновым (1952). Излагаемый в этом параграфе вывод, использующий явным образом кваэиклассичностъ движения, принадлежит В. И. Байеру и В. М. Каткову (1967). Аналогичный метод был использован ранее Швингером (J. Schwinger, 1954) для получения первой квантовой поправки в интенсивности излучения.
2) В этом параграфе (в отличие от гл. IV) обобщенный импульс обозначается прописной буквой Р; обозначение же р применяется для обычного (кинетического) импульса.
