Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Импульсы электрона и позитрона в позитронии ~ me2/h, т. е. малы по сравнению с тс. Поэтому при вычислении вероятности аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящихся в начале координат. Пусть д2у — сечение двухфотонной аннигиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов обеих частиц. В нерелятивистском пределе согласно (88,11)*)
где v — относительная скорость частиц. Мы получим вероятность аннигиляции w2Y, умножив 02У на плотность потока, равную о|г|з(0)|2. Здесь г|з(г)—нормированная на 1 волновая функция основного состояния позитрония:
(боровский радиус позитрония а в два раза больше радиуса атома водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы). Эта
•) Формулы (89,1—7) написаны в обычных единицах.
(89,1)
422 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ (ГЛ. X
вероятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному состоянию. Между тем в позитронии из четырех возможных спиновых состояний системы двух частиц способно к двухфотонной аннигиляции лишь одно (с полным спином 0). Поэтому средняя вероятность распада w2y связана с вероятностью распада парапозитрония wo соотношением w2y = w0/4. Таким образом,
Щ — 4|'Ф(0)|2(оа2у)[,^0. (89,3)
Подставив значения величин из (89,1—2), получим для продолжительности жизни парапозитрония
1,23 • Ю~10 с. (89,4)
Обратим внимание на то, что ширина уровня Г0 = ft/to мала по сравнению с его энергией
, г-. , те4 о а2
I ^осн I 4^2 тс ^ .
Именно это обстоятельство и позволяет рассматривать позитроний как квазистационарную систему.
Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ортопозитрония связана с усредненным по спинам сечением трехфотонной аннигиляции свободной пары соотношением
Щ =4 Щу ^ (°) I2 (89>5)
г(?/4 — относительный статистический вес состояния со спином 1). Забегая вперед, укажем, что
а3\ '¦
4 (лг — 9) с / \ 2
За
• <89’6>
Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония
Ч=*|^-5да-“М-КГ,с- (89,7)
Неравенство Ti <С|?осн| в этом случае, разумеется, выполняется еще в большей степени, чем для парапозитрония.
Вычислим сечение трехфотонной аннигиляции свободной пары (A. Ore, J. L. Powell, 1949).
Согласно (64,18) сечение рассматриваемого процесса в системе центра инерции выражается через квадрат амплитуды формулой
(2я)ММ„[2 , d3k,d*k^d3k„
зу = л--------a(k1+k2+k3)6(co1 + со2 + со3 — 2т) (2ny2o>r2<s>2-2®3’
(89,8)
АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ
423
причем согласно '(64,16) / =2т • —v = m2v, где v — относительная скорость позитрона и электрона (которую предполагаем малой); ki, k2, k3 и coi, со2, о>з— волновые векторы и частоты возникающих фотонов; 5-функции выражают законы сохранения энергии и импульса. В силу этих законов три частоты соь со2, <оз должны изображаться длинами сторон треугольника с периметром 2т. Другими словами, величины импульсов ki, k2, k3 и углы между ними полностью определяются заданием двух частот.
Трехфото'нной аннигиляции отвечают диаграмма
/>-е—
Hr*—
¦ р-
-*-~Р+
и еще пять диаграмм, получающихся перестановкой фотонов ki, к%, кг- Соответствующую амплитуду запишем в виде
Mf,= (4п)ъ е^е^'е^й (— р+) Q^vm (р_), (89,9)
где
Q^ ^ ? yKG (к3 - р+) у»G (р. - к,) Yv, (89,10)
пер
причем сумма берется по всем перестановкам- номеров фотонов 1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соответствующих тензорных индексов Хцу. Квадрат модуля амплитуды, усредненный по поляризациям электрона и позитрона и просуммированный по поляризациям фотонов:
± ^i^f/|2 = (4jt)3Sp{p+Q%_Q„v}, (89,11)
поляр
где
P- = y(Y р- + т),
Матрицы Q^v отличаются от матриц Q^v обращением порядка множителей в каждом члене суммы. В интересующем иас предельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно положить их 3-импульсы р_ и р+ равными нулю, т. е. положить Р- = р+ = (т, 0). Тогда электронные функции Грина
ц YP- — v^i + т _ — v^i + т (v° + 1)
-j—
и т. п., а матрицы плотности сводятся к
P*=-?(Y°±1).
424
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X!
При перемножении в (89,11) возникает большое количество членов. Однако число подлежащих вычислению членов можно сильно уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно перемножить шесть членов в Q?^v (89,10) лишь с одним каким-либо членом в Q*Mv В оставшихся, таким образом, шести следах тоже можно выделить некоторые части, переходящие друг в друга при различных перестановках фотонов. Возникающие при раскрытии следов произведения 4-векторов р, k\, k2, k3 выражаются все через частоты a>i, to2, a>3. Поскольку р = {т, 0), то pk 1 = mioi, ... Произведения же k\k2, ... определяются из уравнения сохранения 4-импульса: 2р = k\ -f- k2 -f- ?3; так, переписав это равенство в виде 2 р — k2 = k\-\- k2 и возведя его в квадрат, получим
В результате все же довольно длинного вычисления получается
Подставив это выражение в (89,8), найдем дифференциальное сечение трехфотонной аннигиляции:
Здесь надо еще исключить 6-функции. Первая из них устраняется интегрированием по d3k3, после чего заменяем остальные дифференциалы:
где 012 — угол между ki и к2; подразумевается, что уже произведено интегрирование по направлениям ki и азимуту к2 относительно ki. Дифференцируя равенство
