Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
р(у)= * (l + gff), 6 = (6t, t2, У;
, (87,9)
p(v)' = i- (1 + l'a), %' = (- g'„ -1', %).
Теперь тензорный след
вычисляется как след матричного произведения матриц (87,6—9) с помощью (33,5).
В результате получается
| Mft I2 = 8я2е4 Sp {(p(e),Q0p(e,Qo + p(e,'Qp(e)Q) +
+ (I + Г)(p(e)'Q0p(e)Q + p(e,'Qp(e)Qo) -i(l~Г)[p(e,'Qp(e,Q] +
+ №') (p(e,'QoP(e,Qo - p(erQp(e)Q) + p(e)' (S'Q) p(e) (IQ) +
+ p<e)' (SQ) pfe) (S'Q) T- i [S'] (p(erQ0p(e)Q — P!erQofe)Qo)}. (87,10)
Рассеяние на неполяризованных электронах
Вычислим до конца сечение рассеяния поляризованных фотонов неполяризованным электроном, просуммированное по поляризациям конечного электрона. Для этого надо положить в
*) Продольные же компоненты е (как и временные компоненты 4-векторов е) можно при этом просто игнорировать: их несущественность обеспечивается калибровочной инвариантностью,
{ 87) ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ 411
(87,10)
р(«) = 1 (Yp + m), р<е>' = Y (yp' -f m)
и удвоить результат, который должен быть подставлен вместо |Affi|2 в формулу для сечения (64,22)
(<р — азимут в системе центра инерции или в лабораторной си* стеме). Ряд членов в (87,10) обращается тождественно в нуль. Вычисление остальных членов приводит к следующему окон-чательному результату (в обозначениях (86,15)):
do = 4do + { (I, + !') [- (i - i)! - (i - i)] +
+ (7_7 + y) + WjT(f + ¦?) (1 +7_7) +
+ ^1(7-7)! + (7-7) + т1Ь <37’">
где da— сечение рассеяния неполяризованных фотонов, даваемое формулой (86,9); множитель !/2 связан с тем, что в (87,11) нет суммирования по поляризациям конечного фотона.
В лабораторной системе формула (87,11) принимает вид
Wi + F^ + W).
do'= sinOdOd<p, (87,12) где
fo=-J- + lT-sin2<>, Рз = sin2 О,
® ® (87,13)
Fu = 2cgs<>, F22 = (^ + -^-)cos<>, ^зз=1 + cos2#
\U. Fano, 1949). Заметим, что хотя выражение (87,12) не содержит явной зависимости от азимута плоскости рассеяния ф, но имеется неявная зависимость, поскольку параметры |2, |3 определяются относительно осей хуг, связанных с плоскостью рассеяния. Напомним, что ось х для обоих фотонов одинакова и перпендикулярна плоскости рассеяния:
*ll[kk'],
а оси у лежат в плоскости рассеяния:
0ll[k[kk']], у' || [к' [кк']].
412
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
Взяв сумму сечений, различающихся знаком %' (т. е. положив = 0 и удвоив результат), мы получим полное (просуммированное по поляризациям конечного фотона) сечение рассеяния поляризованного фотона на неполяризованном электроне. Обозначив его da{%), имеем
Fdo\ (87,14)
где
/7 = /7o + ^3 = |r + ^-(l-ysin20. (87,15)
Мы видим, что сечение рассеяния фотонов, поляризованных перпендикулярно плоскости рассеяния (g3=l), больше, чем для фотонов, поляризованных в плоскости рассеяния (?3 = — 1). От циркулярной же поляризации сечение не зависит. Оно не зависит также и от параметра gi. Поэтому сечение рассеяния совпадает с сечением для неполяризованных фотонов, если отсутствует линейная поляризация относительно осей х или у (?3 = 0) или даже если имеется поляризация относительно направлений, составляющих 45° с этими осями.
Аналогичными свойствами обладает сечение рассеяния неполяризованных фотонов с детектированием поляризованного фотона. Это сечение (обозначим его do(§')) получится из формулы
(87,12), если положить в ней § = 0:
do (Г) = j г\ (-^)2 F' do', F' = F0 + %Fy (87,16)
Из формулы (87,12) можно найти также поляризацию вторичного фотона как такового; параметры этой поляризации обозначим через |(,), в отличие от детектируемой поляризации Согласно изложенным в § 65 правилам величины равны отношениям коэффициентов при к члену, не содержащему ?':
t(f)__ ь t(f)______?jlLt __ F» + Fзз|з
Si р SI» S2 р S2» ЬЗ р • 1» )
В частности, при рассеянии неполяризованного фотона
t(f) _t(f)_ П t(f). Sin2d /0*7 1 04
Ix —h -0, ёз (°7,18)
При этом йп > 0, т. е. вторичный фотон поляризуется перпендикулярно плоскости рассеяния. Циркулярная же поляризация вторичного фотона возникает, лишь если первичный фотон цир-кулярно поляризован: ?2f) ф 0 только при ?2 Ф 0.
Рассмотрим случай, когда падающий фотон полностью поляризован линейно (g2 = 0, ?? + ?з=1), и найдем сечение рассеяния, в котором детектируется тоже линейная поляризация
5 87]
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
413
вторичного фотона. Выразив параметры ?г и ?г через компо-
ненты векторов поляризации фотонов е и е', получим следую щее выражение для сечения рассеяния:
где © — угол между направлениями поляризации падающего и рассеянного фотонов1).
Согласно этой формуле сечение ведет себя существенно различным образом в случаях, когда поляризации е и е' взаимно перпендикулярны и когда они лежат в одной плоскости. Отличая эти два случая индексами _1_ и ||, имеем в нерелятивистском пределе (со т, а' « со)
в согласии с классическими формулами. В обратном, ультрарелятивистском случае имеем и> т, о/жт/( 1—соэф). Здесь надо различать области больших и малых углов (ю/о/ велико или мало):
Мы видим, что в области очень малых углов сечение рассеяния совпадает с классическим. Равенство же do± « do{l при не слишком малых углах означает, что в этой области в ультрарелятивистском случае рассеянное излучение не поляризовано; подчеркнем, однако, что это заключение относится именно к линейно поляризованному падающему фотону: из (87,17) видно, что для циркулярно поляризованного фотона в ультрарелятивистском случае |(2f) « costf • 12-
