Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
2 т* dt
аа олг
откуда
do 8 лге ,2
4 (s — m2) (m2 — и) ’
d<J 2 1 + (я-6)2а)2/т2 • (86,20)
Сечение do/do'~r] в узком конусе я — 0^m/co, а вне его уменьшается по порядку величины в со2/т2 раз.
§ 87. Рассеяние фотона электроном.
Поляризационные эффекты
Вернемся к исходным формулам предыдущего параграфа и покажем, каким образом должны производиться вычисления с учетом поляризации начальных и конечных фотонов и электронов.
Матрица плотности фотона выражается согласно (8,17) с помощью пары единичных 4-векторов ?(1>, ?(2), удовлетворяющих условиям (8,16). В данном случае можно выбрать эти векторы единым образом для обоих фотонов. Это — введенные в
408
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
§ 70 4-векторы1)
е*1» = N е<2> =
У-лг2 ’ У-p2 ’
(87,1)
где
Р*=(,/+Л¦+/'*,
K’- = kk + k1', ql = к'1 - к1 = р'
Величины Q^v в (86,5) даются формулой (86,4). Их можно рассматривать как компоненты 4-тензора (в том смысле, что они образуют 4-тензор после образования величин U'Q^u, как говорят, «в обкладках»). Все компоненты 4-тензора можно исчерпать, проецируя его на четыре взаимно ортогональных 4-вектора, например на определенные выше Р, N, q, К. Поскольку тензоры p(v>', p[v) содержат только компоненты по Р и N, фактически нам нужны будут компоненты Q^v тоже лишь по этим 4-векторам. Другими словами, достаточно искать в Q^v лишь члены вида
остальные члены при подстановке в (86,5) все равно выпали бы. Величины Q0 и Q3 являются скалярами — в том же смысле, как и Q^v есть 4-тензор; они содержат поэтому матрицы у лишь в «инвариантных» комбинациях: уК и т. п. В том же смысле Qi и Q2—псевдоскаляры {N — псевдовектор!) и должны содержать матрицу у5.
Непосредственным проецированием тензора Qнаходим
и т. д. Для вычисления удобно сначала выразить Q^v через взаимно ортогональные 4-векторы Р, N, q, К:
Дальнейшее вычисление сводится к чисто алгебраическим преобразованиям с помощью приведенных в § 22 формул. Кроме
!) Альтернативный способ вычисления состоит в том, чтобы с самого начала рассматривать определенную систему отсчета (скажем, лабораторную) и для каждого фотона выбрать в качестве е(!), е(2) два чисто пространственных (е = (0,е)) вектора, ортогональных по отношению к импульсу фотона и по отношению друг к другу. При этом, однако, все вычисления будут производиться в трехмерной форме, а результат не будет иметь инвариантного вида.
Q.-T^W + eM21)
г- / -11/ W) V’ - Yv W) /].
§ 87) ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ 409
того, можно сделать в Q^v замены, которые не отразятся на результате при дальнейшем образовании произведения U'Q^u. Например, поскольку
й7 (УР + УР')и = 2 тй'и, й'у5 (уя) и — й' [y5 (ур) + (ур') Y5] и = 2тй'у%
то можно заменить в Q^v слагаемые
ур + ур' -+2т, Y5 (УЯ) 2ту5. (87,4)
Опустив детали вычислений, приведем результат1):
Q0 = — ma+, Qi = ja+y5(yK), (87,5)
Q2 = — ma+y5, Q3 = tna+-{¦ ja_ (yK),
где
Для дальнейших вычислений удобно применить к Quv тот же формальный прием, который был описан в § 8 для матрицы плотности фотона: четыре компоненты тензора (87,3) по направлениям е(1), е(2) объединим в двухрядную матрицу Q, которую затем разложим по матрицам Паули. Аналогично формуле (8,18) получим
Q = Q0 + Qff, Q = (Qi, Q2, Q3). (87,6)
Что касается фигурирующего в (86,5) тензора Q^v = yCQ^y°, то используя (87,3) и (87,5), легко убедиться (с помощью правил (65,2а)), что его компоненту получаются из компонент Quv заменой величин Q0, Q1( ... на Q0, Qu где
Qo ~ Qo> Qi= Qu Q2= Q2> Q3=: Qi, (87,7)
и одновременной перестановкой индексов ^v2). В матричном виде это значит, что
Q = Qo + Qo. (87,8)
') Выражение (87,3) со значениями (87,5) соответствует виду (70,11—13), установленному в § 70 из общих соображений. Помимо равенств f$=ft = = 0, следующих из Г-инвариантности, здесь оказывается равной нулю еще одна инвариантная амплитуда (/2). Это — свойство рассматриваемого приближения теории возмущений, и оно исчезло бы в более высоких приближениях.
2) Для матрицы Q^v в исходной форме (86,4) мы имели бы просто Qnv=Qvn. Это свойство, однако, теряется в результате преобразований, включающих замены типа (87,4) и т. п.
410
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
Уточним теперь смысл 4-векторов е(1), е(2) в их отношении к поляризации фотонов. Для каждого из фотонов независимые направления поляризации будут определяться поперечными (по отношению к импульсу фотона к) составляющими 3-векторов е(1), e(2)l). Легко видеть, что как в системе центра инерции, так и в лабораторной системе (системе покоя начального электрона) вектор Р лежит в плоскости к, к', а вектор N перпендикулярен этой плоскости. Поэтому направление е(1) имеет смысл поляризации перпендикулярно плоскости рассеяния, а направление е(2) — поляризации в плоскости рассеяния. Надо также учесть, что параметры Стокса ?ь |2, 1з определяются по отношению к осям xyz, образующим правовинтовую систему (с осью z вдоль направления к). Легко видеть, что для начального фотона такую систему составляют векторы N, Рх, к, а для конечного фотона —¦ векторы N, — Р'±, к' (Р±) Р'± — составляющие Р, перпендикулярные соответственно к и к'). Изменение знака е(2) в матрице плотности фотона (8.17) эквивалентно изменению знака |i и |2-Поэтому матрицы плотности начального и конечного фотонов, отнесенные к 4;ортам е(|), е(2), будут
