Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
§681 ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ 419
Формулы (88,6—8) дают зависимость полного сечения от энер-
гии налетающего позитрона:
+ №<»
В частности, в нерелятивистском пределе1)
o = nr2e/v+ (н. р.), (88,11)
где v+ — скорость позитрона.
В системе центра инерции электрон, позитрон и оба фотона имеют одинаковые энергии е = со. Инварианты:
m2 — s = 2в (е — f р j cos 0), т2 — и = 2е (е +1 р | cos 0),
< = 4е2, (88,12)
где 0 — угол между импульсами электрона и одного из фотонов. Подставив (88,12) в (88,4), получим угловое распределение аннигиляционных фотонов
]*,. (88,13)
48 | Р I L 6 — p cos 0 (e2 — p2 COS2 0)a J ' '
В ультрарелятивистском случае оно имеет симметричные максимумы в направлениях 0 = 0 и 0 = я. Вблизи 0 = 0
л2га2 do
da ~ 2s2 (б2 + m2/e2) (38,14)
Полное сечение получается из (88,6):
а=лге-Ц^[^?-1пт^т_2(2_и2)]’ (88>15)
где u = |p|/E = Ve2 — гпг1г — скорость сталкивающихся частиц.
Мы не будем рассматривать здесь в деталях поляризационные эффекты при аннигиляции2). Остановимся лишь на некоторых качественных особенностях этих эффектов в предельных случаях больших и малых скоростей v сталкивающихся частиц. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции.
В пределе и-»-0 отличный от нуля вклад в сечение даст лишь состояние с орбитальным моментом относительного движения
1 = 0. Но 5-состояние системы «электрон + позитрон» имеет отрицательную четность (см. задачу к § 27). В нечетных же состояниях системы двух фотонов их поляризации взаимно ортогональны (см. § 9). Таким же свойством должны, следователь-
*) Эта формула, однако, неприменима, когда и+^а, и нельзя пренебрегать кулоновым взаимодействием компонент пары (ср. конец § 94).
2) См. McMaster W. И.ЦRev. Mod. Phys. — 1961. — Vol. 33, —P. 8.
420
ВЗАИЛЮДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
но, обладать в нерелятивистском случае и аннигиляционные фотоны.
Если электрон и позитрон поляризованы, то в том же нерелятивистском случае можно утверждать, что их аннигиляция возможна лишь при антипараллельных спинах. Действительно, поскольку аннигиляция происходит в 5-состоян'ии, полный момент системы совпадает с полным спином частиц, равным 1 при параллельных спинах. Система же двух фотонов вообще не имеет состояний с полным моментом 1 (см. § 9).
В ультрарелятивистском пределе (и->1) аннигиляция продольно поляризованных (спиральных) электрона и позитрона возможна лишь при разных знаках их спиральностей 1). В этом пределе спиральные частицы ведут себя как нейтрино (см. конец § 80), а потому аннигилирующие электрон и позитрон должны быть аналогичны нейтрино и антинейтрино, откуда и следует сделанное утверждение.
Аннигиляция же электрона и позитрона с одинаковыми спи-ральностями возникает в ультрарелятивистском случае лишь при учете членов, содержащих т. По порядку величины амплитуда этого процесса отличается множителем т/е от амплитуды аннигиляции пары с параллельными спинами; сечение же отличается соответственно множителем (т/в)2.
Найти сечение образования электронной пары при столкновении двух фотонов (G. Breit, J. A. Wheeler, 1934).
Решение. Этот процесс обратен двухфотонной аннигиляции электронной пары. Квадраты амплитуды обоих процессов одинаковы, а их связи с сечением различаются лишь тем, что теперь I2 = (kik2)2 = *2/4. Поэтому
где v — скорость компонент пары. При интегрировании с целью нахождения полного сечения надо учесть, что ввиду нетождественности двух конечных частиц (электрон и позитрон) не надо делить результат на 2, как в случае аннигиляции. Поэтому (в системе центра инерции)
В произвольной системе отсчета К, в которой два фотона ki и k2 летят навстречу друг другу, имеем (из инвариантности k^k2)
') Поскольку направления импульсов частиц в системе центра инерции противоположны, различным по знаку спиральностям отвечают параллельные спины.
Задача
dOo6p = с^анн (t — 4m2)/t. В системе центра инерции {t = 4е2 — 4со2)
б^обр ” И2
в С
Ообр “ (Танн “ —
0)i0)2 = О)2,
АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ
421
где со — энергия фотонов в системе центра инерции. Поскольку в этой системе энергии фотонов и компонент пары совпадают, то со = е = m/У 1 ~~ v2-Поэтому для перехода к системе К надо положить в (1)
§ 89. Аннигиляция позитрония
В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и позитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по крайней мере двух фотонов. Такой распад, однако, возможен (в основном состоянии) только для парапозитрония. В § 9 было показано, что полный момент системы двух фотонов не может быть равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии 35ь не может распасться на два фотона. Более того, поскольку в состоянии 3Si позитроний представляет собой зарядово-нечетную систему (см. задачу к § 27), то в силу теоремы Фарри (см. § 79) невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов. Напротив, ,в состоянии ‘50 позитроний зарядово-четен, и потому запрещен распад парапозитрония на любое нечетное число фотонов.
Основным процессом, определяющим время жизни позитрония, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в случае парапозитрония и трехфотонная аннигиляция в случае ортопозитрония (И. Я. Померанчук, 1948). Вероятность распада можно связать с сечением аннигиляции свободной пары.
