Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В силу этой эрмитовости квадрат амплитуды рассеяния (а с ним и сечение) не меняется при перестановке начального и конечного состояний. В то же время сечение должно быть инвариантно по отношению к обращению времени — перестановке начального и конечного состояний вместе с одновременным изменением знака векторов импульса и момента всех частиц (параметры же Стокса gb g2, g3 при этом не меняются — см. § 8). Комбинируя оба эти требования, заключаем, что в рассматриваемом приближении сечение не должно меняться при одновременном изменении знака всех импульсов и моментов без перестановки начального и конечного состояний, т, е. при преобразовании
k^-k, k'^-k', Б7-*-г (87,26)
и неизменных параметрах |,
Преобразование (87,26) меняет знак произведения ?v, и потому такие члены не могут фигурировать в сечении. Подчеркнем, однако, что этот запрет не является следствием строгих требований симметрии и может нарушаться в следующих приближениях теории возмущений.
Заметим, что симметрия по четности запрещает члены вида gig3 и g2g3 в двойной корреляции между поляризациями фотонов друг с другом и не накладывает никаких ограничений на вид корреляции фотонов с электронами. Однако все члены вида liSi ?з? запрещены в первом приближении требованием инвариантности относительно преобразования (87,26). Так, члены вида gtg2 и IjS можно было бы образовать (с точки зрения соблюдения четности) как скаляры, например l'2(Sa^k'av^) и (Sap^vp) (?k); эти комбинации, однако, меняют знак при преобразовании (87,26).
Разрешенные корреляционные члены вида g2? могут быть образованы как произведения типа g2(?k). Векторы поляризации электронов входят в них лишь в виде проекций на плоскость рассеяния.
Наконец, ряд соотношений между коэффициентами в разрешенных членах возникает из требований кросс-универсальности. Каналы реакции, различающиеся перестановкой начального и
ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ
417
конечного фотонов, отвечают одному процессу — рассеянию фотона на электроне. Поэтому квадрат модуля амплитуды, а с ним и сечение рассеяния должны быть инвариантны по отношению к преобразованию, выражающему переход от одного из этих каналов к другому:
при неизменных импульсах и поляризациях электронов. В трехмерном виде это преобразование означает замены:
1(, I, (87,27)
Изменение знака параметра |2 очевидно из выражения g2 = = г[ее*]п, в котором вектор [ее*] при замене е ч-v е* меняет знак, а вектор п = k/со при замене к -*-»¦ — к, со -«-> — со не меняется. Преобразование (87,27), не затрагивая импульсов электронов, оставляет лабораторную систему лабораторной. Поэтому сечение (87,22) не должно менять своего вида при этом преобразовании; формулы (87,12), (87,22—23) действительно удовлетворяют этому условию.
§ 88. Двухфотонная аннигиляция электронной пары
Аннигиляции электрона и позитрона (4-импульсы р_ и р+) с образованием двух фотонов (k\ и k2) отвечают две диаграммы:
~ ''—p-'V (88,1)
Они отличаются от диаграмм рассеяния фотона на электроне заменой
р->р_, р'-+ — р+, k-> — k{, k'->k2. (88,2)
Оба процесса — два перекрестных канала одной и той же (обобщенной) реакции. После замены (88,2) кинематические инварианты (86,2) приобретают следующий смысл:
s = (р_ — /г,)2,
, t = (P- + P+yi = (kl + k2yi, (88,3)
и = (р_ — k2f.
Если рассеяние фотона было s-каналом, то аннигиляция есть ^-канал.
Квадрат | Mfi|2 для аннигиляции (усредненный по поляризациям электронов и просуммированный по поляризациям фотонов), будучи выражен через инварианты s, и, совпадает с аналогичной величиной для рассеяния с изменением лишь смысла
418 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
иввариантов'). В формуле же для сечения (64,23), в множителях при надо заменить: s <—>- /, причем для величины /
имеем теперь согласно (64,15а):
/2 = l/4t (t — 4т2).
Произведя соответствующие изменения в формуле (86,6), получим в результате сечение аннигиляции
, о? т2 ds f ( mz , m? \2 . ( m1 . m1 N
° t (t — 4m2) 1V s — m2 1 и — Is — m2 и — m2 J
+!=?)}¦ w-»
Физическая область йнкигиляционного канала есть область II на рис. 7 (см. с. 300). При заданном t (заданной энергии в системе центра инерции) интервал изменения s определяется уравнением границы su = гп?. Вместе с соотношением s + t + и — = 2т2 это дает
— 4 — Т V/ {t — 4т2) < s — т2 < — 4 -!- 4 V* (* — 4т2). (88,5)
2т2 (т — 1)
Интегрирование выражения (88,4) элементарно; результат надо еще разделить на 2, учитывая тождественность двух конечных частиц (фотонов). Таким образом, получим
-2 г/ 1\ д/т 4* л/т — I /-------1
(V + т - _) In v_ - (t + 1) Vt(t- 1 )J,
(88,6)
где т = t/4m2 (P. A. M. Dirac, 1930).
В нерелятивистском пределе (т—>- I) находим отсюда
9
Л г~
о = (н. Р-). (88,7)
2 л/х — 1
В ультрарелятивистском же случае (т-»-оо)
„г2
On4т — 1)(у. р.). (88,8)
В лабораторной системе, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, инвариант т есть
t=2-(1+y), Y = (88>9)
') При этом учитывается, что фотоны и электроны имеют одинаковое число независимых поляризаций (две) и потому несущественно, по которым усредняется, а по которым суммируется.
