Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
da -- dt (s ^ [f (s, u) + tf(*. u) + f(u, s) + g(u, s)], где обозначено f (s, «) = 4 (S _ m2)2 X x Sp {(yp' + m) у» (yp + yk + m) yv (yp + m) yv (yP + yk + m) y,J
Ё (s> u) 4 (s — m2) (и — m2) X
X Sp {(yp' + m) Y11 (yp + yk + m) yv (yp + m) y^ (yp — yk' + m) yv}
[(в этих обозначениях мы заранее имеем в виду, что результат будет зависеть лишь от инвариантных величин).
Суммирование по ц и v выполняется с помощью формул [(22,6); отбросив затем члены с нечетным числом множителей у, получим
/ (*. “) = ' (в~—1тд)г S р ^Р + Y&) (УР) (yp + yk) +
+ 4т2 (ур + yk) (yk — ур') + т2 (ур) (ур') + 4/и4}.
Вычислив след с помощью формул (22,13) и выразив все величины через инварианты s, и, найдем после простых преобразований
/ (s> «) = (S J*m2f {4m4 — (s — m2) (и — m2) + 2m2 (s — m2)}.
404 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
Аналогичным образом вычисляется g:
8 (s> “): -(Г- от»Нц - /п2) t4m2 + (s — m2) + (“ —
В результате для сечения получим
= i j-V +
е (s — m2)2 (д s — m2 ' u~tn2 ) '
+ (+ -^) - 4- (?ZLi»l + JLZJ!$)\, (86,6)
' \ s — m* ‘ u — m2 ) 4 \u — m? 1 s — tn2 ) j ’
где re = e2/tn. Эта формула выражает сечение через инвариантные величины. С ее помощью легко выразить сечение через параметры столкновения в любой конкретной системе отсчета.
Сделаем это для лабораторной системы отсчета, в которой электрон до столкновения покоился: р = (/п, 0). Здесь
s — т2 = 2тсо, и — т2 = —2тсо'. (86,7)
Написав уравнение сохранения 4-импульса в виде p-\-k — k'— = р' и возведя его в квадрат, получим
pk — pk' — kk' = 0,
откуда (в лабораторной системе)
т (со — со') — coco' (1 — cos d) = 0,
где •& — угол рассеяния фотона. Этим равенством определяется связь между изменением энергии фотона и углом рассеяния:
Т?—Т=1Г<1-“»«>• <8<*.8>
Инвариант t:
t = —2kk' = —2coco' (1 — cos •&).
При заданной энергии со находим (с помощью (86,8)) dt = 2сo'2d cos ft = — сa'2do', do' = 2n sin ¦& d•&.
71
Подстановка написанных выражений в (86,6) приводит к следующей формуле для сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета:
do=T(^)2(^ + ir-sill2<Odo' (86>9)
(О. Klein, Y. Nishina, 1929; И. Е. Тамм, 1930).
Поскольку угол д однозначно связан с со' соотношением ,(86,8), сечение может быть выражено через энергию рассеянного
$ 861 РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 405
фотона to':
<*—+ f + й'-Чт-т)]- <86'10>
причем to' меняется в пределах
irkfr (86’п>
При to С т в (86,9) можно положить to' ж to, и получается, как и должно быть, классическая нерелятивистская формула Томсона
do = -y г2(1 + cos2®) do' (86,12)
(см. II (78,7)).
Для вычисления полного сечения вернемся к формуле (86,6). Входящие в нее инварианты s, t, и пробегают значения, удовлетворяющие неравенствам
s^m2, t^. О, us<Im4. (86,13)
Они были уже получены в § 67 (соответствующая им физическая область —I на рис. 7, с. 300). Легко убедиться в них и непосредственно, написав выражения инвариантов в системе центра инерции. Здесь р + к = 0, а энергии электрона е и фотона to связаны посредством е = л/а>2 + т2. Инварианты:
s = (е + to)2 = т2 + 2о) (со + е), и = т2 — 2о) (е + to cos 0), (86,14)
t = —2о)2 (1 — cos 0),
где 0 — угол рассеяния (угол между р и р' или между к и к'). Три неравенства (86,13) получаются из условий: to ^ О,
—1 ei cos 0^1.
При заданном s (заданной энергии частиц) интегрирование по t можно заменить интегрированием по и = 2т2 — s — t в интервале
m4/s ^ и 2 т2 — s.
Введя вместо s, и величины
s — т2 т? — и /ос
х = у — ^2 , (86,15)
получим
8я г2
*/(*+1)
406
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
и после элементарного интегрирования
a = 2n^i-{(l |п(1+*) + Л- + ±- 2(1+*)»}*
(86,16)
Первые члены разложения при х <С 1 (нерелятивистский случай) дают
а = -^(1_*) (н. р.). (86,17)
Первый член есть классическое томсоновское сечение. В обратном,
а/т
Рис. 13
ультрарелятивистском случае х 1, и разложение форму-лы (86,16) дает
с = 2лге-|-(1пл: + -у) (у. р.). (86,18)
В лабораторной системе отсчета
х = 2(о jm, (86,19)
так что формулы (86,16—18) прямо дают зависимость сечения рассеяния на неподвижном электроне от энергии фотона. На рис. 13 дан график зависимости о от со/т.
Отметим, что в ультрарелятивистском случае сечение падает с увеличением энергии как в лабораторной системе отсчета
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
407
(а оо со-1 In со), так и в системе центра инерции (х « 4со2/т2, аоо со-2 In со). Угловое же распределение в ультрарелятивистском случае носит в этих двух системах отсчета совершенно различный характер.
В лабораторной системе дифференциальное сечение имеет резкий максимум в направлении вперед. В узком конусе VW® имеем со' ~ со и сечение da/do' ~ г\ (достигая значения г2е при О-^О). Вне этого конуса сечение убывает, и в области О2 » m/со (где со' « т/ (1 — cos О)) имеем
2
da ге т
do' 2 ш (1 — cos Ф) ’
т. е. сечение уменьшается в ~со/т раз.
В системе же центра инерции дифференциальное сечение имеет максимум в направлении назад. При л — 0 <§; 1 имеем из
(86,14)
s — т2 4ш2 т1 — и . . ш2 ,
т2 *** ~тГ> т~2 ~ 1 +(я - 6)2.
Наибольший член в сечении (86,6)
