Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
ОБШИБ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
353
Пусть Л(е>(;с)— 4-потенциал внешнего поля. Он входит в лагранжиан взаимодействия вместе с фотонным оператором А в виде суммы Д-|-Л<е> (которая и перемножается с оператором тока /). Поскольку Л(е> не содержит никаких операторов, он не может образовывать сверток с другими операторами. Иначе говоря, внешнему полю будут соответствовать в диаграммах Фейнмана лишь внешние линии.
Представим Л<е> в виде интеграла Фурье:
А^(х)=\ AM(q)e-‘<*A.
J ( ) (77,6)
Л<е>(<7)= J А'» (х) е*<х d*x.
В выражениях для матричных элементов в импульсном представлении 4-вектор q будет фигурировать наряду с 4-импульсами других внешних линий, отвечающих реальным частицам. Каждой такой линии внешнего поля сопоставляется множитель Л(е>(<7), причем линию надо рассматривать как «входящую» — в соответствии со знаком показателя в множителе e~iqx, с которым Л(е>(<7) входит в интеграл Фурье («выходящей» же линии надо было бы сопоставить множитель Л<е>*(<7)). Если при этом окажется, что закон сохранения 4-импульса не фиксирует (при заданных 4-импульсах всех реальных частиц) однозначным образом 4-импульсы всех линий внешнего поля, то по остающимся «свободными» q производится интегрирование (по d*q/(2л)4), как и по всем другим не фиксированным 4-импульсам линий диаграммы.
Если внешнее поле не зависит от времени, то
A^(q) = 2n6(q°)A^(q), (77,7)
гдеЛ^я) — трехмерная компонента Фурье:
A^(q) = jj Л<е>(г) е~1<* d3x. (77,8)
В этом случае внешней линии сопоставляется множитель /l<e>(q) и ей приписывается 4-импульс <7^ = (0, q); энергии электронных линий, пересекающихся (вместе с линией поля) в вершине, при этом одинаковы в силу закона сохранения. По всем остающимся нефиксированными трехмерным импульсам р внутренних линий должно производиться интегрирование по d3p/{2n)3. Вычисленная таким образом амплитуда М.ц определяет, например, сечение рассеяния (64,25).
Дадим сводку окончательных правил диаграммной техники, по которым составляется выражение для амплитуды рассеянья (точнее — выражение для iMfi) в импульсном представлении.
354
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ VIII
1. Приближению п-го порядка теории возмущений отвечают диаграммы с п вершинами, в каждой из которых сходятся одна входящая и одна выходящая электронные (сплошные) и одна фотонная (пунктирная) линии. В амплитуду процесса рассеяния входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внешние линии) в числе, равном числу начальных и конечных частиц.
2. Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляется амплитуда начального электрона и(р) или конечного позитрона и(-^-р) (р — 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплошной линии сопоставляется амплитуда конечного электрона й(р) или начального позитрона й(—р).
3. Каждой вершине сопоставляется 4-вектор —iey*1.
4. Каждой внешней входящей пунктирной линии сопоставляется амплитуда начального фотона -у/Аяе^, а выходящей линии — амплитуда лДяе* конечного фотона (е — 4-вектор
поляризации). Векторный индекс ц совпадает с индексом матрицы у»1 в соответствующей вершине (так что возникает скалярное произведение уе или уе*).
5. Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется множитель iG(p), а внутренней пунктирной линии — множитель ~Ш^(р). Тензорные индексы jiv совпадают с индексами матриц -у»*, yv в вершинах, соединяемых пунктирной линией.
6. Вдоль каждой непрерывной последовательности электронных линий стрелки имеют неизменное направление, а расположение биспинорных индексов вдоль них соответствует записи матриц слева направо при движении против стрелок. Замкнутой электронной петле отвечает след произведения расположенных вдоль нее матриц.
7. В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней линий удовлетворяют закону сохранения, т. е. сумма импульсов входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Импульсы свободных концов — заданные (с соблюдением общего закона сохранения) величины, причем позитронной линии приписывается импульс —р. По импульсам внутренних линий, остающимся нефиксированными после учета законов сохранения во всех вершинах, производится интегрирование (по d*p/ (2л)4).
8. Входящему свободному концу, отвечающему внешнему полю, сопоставляется множитель Л(е)(<?); 4-вектор q связан с 4-импульсами других линий законом сохранения в вершине. Если поле не зависит от времени, свободному концу сопоставляется множитель i4(e>(q), а по остающимся нефиксированны-ми трехмерным импульсам внутренних линий производится интегрирование по d3p/(2я)3.
9. Дополнительный множитель —1 привносится в выражение для iMft каждой замкнутой электронной петлей в диаграмме
ПЕРЕКРЕСТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
255
и каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы—¦ начало и конец одной последовательности сплошных линий. Если среди начальных или среди конечных частиц имеется несколько электронов или позитронов, то относительный знак диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок пар тождественных частиц (т. е. соответствующих им внешних концов), должен быть противоположным.
Для уточнения последнего правила добавим, что одинаковыми знаками должны во всяком случае обладать диаграммы с одинаковыми сплошными линиями, т. е. диаграммы, которые оказались бы тождественными после снятия с них всех фотонных линий. Напомним также, что при наличии тождественных фермионов общий знак амплитуды условен.
