Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(с одинаковыми знаками при t > t' и t < t').
§ 76. Фотонный пропагатор
До сих пор нам приходилось (в § 43, 74) использовать явный вид операторов электромагнитного поля Л при нахождении матричных элементов лишь по отношению к изменению числа реальных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное в § 2 представление потенциалов свободного поля в виде разложения по поперечным плоским волнам.
Такое представление, однако, не дает само по себе полного описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диаграммы рассеяния (73, 13—14) должны учитывать и кулоново взаимодействие электронов. Последнее описывается скалярным потенциалом ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь поперечными виртуальными фотонами (описываемыми векторным потенциалом, подчиненным условию divA = 0)').
Таким образом, мы по существу не имеем еще полного определения операторов Л, без чего невозможно прямое вычисление фотонного пропагатора согласно формуле
С другой стороны, калибровочная неоднозначность потенциалов в значительной степени лишает физического смысла те опера-
>) При условии div А = 0 уравнения Максвелла приводят к следующим уравнениям для АиФ:
? A = -4jij + V-^-, АФ = — 4яр.
G<°) (х - х') = — г(0 I Tip (х) гр+ (х') 10).
(75,22)
t>t'
t<t
(75,23)
D„v (х - х') = f <0 | ТА» (х) (х') 10).
(76,1)
В этой калибровке Ф удовлетворяет- ститическому уравнению Пуассона (ср. с формулой ^76,13) для Daо в этой же калибровке).
ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
343
торы, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего квантования электромагнитного поля.
Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не физический характер, и их можно обойти, использовав некоторые общие свойства пропагатора, очевидные из требований релятивистской и калибровочной инвариантности.
Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего только от 4-вектора % = х — х', есть
(?) = S^D (I2) - (i2), (76,2)
где D, Z)(<)— скалярные функции инварианта |21). Отметим, что тензор автоматически оказывается симметричным.
Соответственно в импульсном представлении будем иметь
/V (k)=d (k2) gtlv + (k2), (76,3)
где D(k2), D^(k2)—компоненты Фурье функций D(E2), D(,)(|2).
В физические величины — амплитуды рассеяния — фотонная функция распространения входит умноженной на токи переходов двух электронов, т. е. в комбинациях вида (см., например, (73,13)). Но в силу сохранения тока (6^ = 0) его матрич-
ные элементы /21 = ilvppi удовлетворяют условию 4-поперечности
M/*)ai = 0, (76,4)
где k = p2 — Pi (ср. (43,13)). Ясно поэтому, что никакие физические результаты не изменятся при замене
^ ”1“ ”1” (76,5)
где — любые функции к и k<y. Этот произвол в выборе DцУ соответствует произволу в калибровке потенциалов поля.
Произвольное калибровочное преобразование (76,5) может нарушить релятивистски инвариантный вид D^v, предположенный в (76,3) (если величины не составляют 4-вектора). Но и оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропагатора, мы видим, что выбор функции D^(k2) в (76,3) вполне произволен; он не отразится на физических результатах и может устанавливаться из соображений удобства (J1. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954).
Нахождение функции распространения сводится, таким образом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной функции D(k2). Если рассмотреть заданное значение k2 и выбрать ось z вдоль направления к, то преобразования (76,5) не
*) Эти функции различны в трех областях значений аргумента, не переходящих друг в друга при преобразованиях Лоренца: вне светового конуса (I* < 0), в верхней (|2 > 0, |0 > 0) ив нижний (|2 >0, |0 < 0) полостях светового конуса,
344 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VIII
будут затрагивать компоненты Dxx — Dyy = —D(k2). Достаточно поэтому вычислить всего одну компоненту Dxx, пользуясь при этом любой калибровкой потенциалов.
Воспользуемся калибровкой, в которой divA = 0 и оператор А дается разложением (2,17—18):
А = Е V? (ё^(а)е~1кх + ck+ae(a)*eto). ш = | к | (76,6)
ка
(индекс а = 1, 2 нумерует поляризации). Из всех средних по вакууму значений произведений операторов 6, с+ отличны от нуля лишь
<0kkaCk+J0>=i.
По определению (76,1) получим поэтому
/>«№)'=-(2^ J (76,7)
\i, k — трехмерные векторные индексы; от суммирования по к мы перешли к интегрированию по d3k/(2n)3). Тот факт, что в показателе экспоненты стоит абсолютное значение разности т = t—t', есть следствие хронологизации произведения операторов в (76,1).
Из (76,7) видно, что подынтегральное выражение без множителя е‘к? есть компонента трехмерного разложения Фурье функции Dtk(r, t). Для Dxx = —D она равна
и I Y' I e(a> |2 = е~{®1 т|
to /Lj * CD
Для нахождения Dxx{k2) осталось разложить эту функцию в интеграл Фурье по времени. Это разложение дается формулой
оо
^Lg-шKI —---------L [ ——------------e-ik^dk0.
ш 2я «) Й-k + *0
— оо и
Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегрирование подразумевает обход полюсов &о = ±|к| = ±ш соответственно снизу и сверху; при т > 0 интеграл определяется вычетом в полюсе &о = +ш, а при т<С0 — вычетом в полюсе k0 = —ю.
