Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, находим окончательно
= <76’8>
§ 76] ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 345
Появление +rt) в знаменателе, к которому в изложенном выводе мы пришли автоматически, совпадает с правилом (75,15): из (равной нулю) массы фотона вычитается ДО. Из (76,8) видно, что соответствующая координатная функция D(|2) удовлетворяет уравнению
- dtffD (х - х') = 4я6{4) (jc - х'), (76,9)
т. е. является функцией Грина волнового уравнения.
Мы будем обычно полагать Z)(i) = 0, т. е. пользоваться функцией распространения в виде
^v = ^(^2) = -F1po^v (76,10)
(калибровка Фейнмана).
Укажем также другие способы калибровки, которые могут представить определенные преимущества в некоторых применениях.
Положив ?)('> = —D/k2, получим пропагатор в виде
^HV = -р- (&HV — -JT-) (76,11)
'(калибровка Ландау). При этом Z)(1V&V = 0. Такой выбор анало-
гичен лоренцевой калибровке потенциалов (Л(1&11 = 0).
Калибровке потенциалов трехмерным условием divA = 0 аналогична калибровка пропагатора условиями
Dtlkl = 0, Dolk‘ = 0.
Вместе с равенством Dxx = —Р~—4n/k2 эти условия дают
0U—(««—*?¦)• (№12)
Для того чтобы получить такое Da, надо произвести над пропа-гатором (76,10) преобразование (76,5), положив
4тоо ' Anki
^°— 2 (ш2 — к2) к2 ’ Хг — 2 (со2 — к2) к2 *
При этом для остальных компонент D^ получается
Аю — —4я/к2, Dot = 0. (76,13)
Такую калибровку называют кулоновой (Е. Salpeter, 1952); отметим, что Dqo здесь — компонента Фурье кулонова потенциала.
Наконец, калибровке потенциалов условием Ф = 0 аналогична калибровка пропагатора, в которой
= А* = Аю = 0. (76,14)
346
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
1ГЛ. V1H
Эта форма оказывается удобной для применения в нереляти вистских задачах (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, 1959) Все выписанные выражения относятся к импульсному пред ставлению пропагатора. В некоторых случаях удобно пользо ваться смешанным частотно-координатным представлением, т. е функцией
¦Duv (®. г) = \ ?>nv (<°> k) е'кг • (76>15)
В фейнмановской калибровке (76,10)
(со, г) = g^D (со, г),
где
-ч „_С d*k i f eikr~e~ikr
(“’ ) J ю2 - к2 + »0 (2я)3 “ пг ) ю2 — k2 + t0 ’
о
или, после замены &->—k во втором слагаемом подынтегрального выражения:
kdk
k2 + i0 >
— ОО
Последнее интегрирование производится путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной k и сводится к взятию вычета в полюсе & = |со| + г0. Окончательно получим
Z)(co, г) = — е,1ш|г/Г> (76,16)
В связи с этим выражением сделаем следующее замечание. Описываемый диаграммами (73,13—14) процесс можно рассматривать наглядно как рассеяние электрона 2 в поле, создаваемом электроном 1 (или наоборот). Функция (76,16) соответствует обычному «запаздывающему» потенциалу ooei(or (см. II (64,1—2)) только при со > 0. Знак со, однако, зависит от условного выбора направления стрелки k на диаграмме. Отмеченное свойство функции ?>(со, г) означает, что в квантовой электродинамике следует считать источником поля ту из частиц, которая отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон.
В заключение остановимся на вопросе о пропагаторе частиц со спином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае калибровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозначен.
Подставив ф-операторы (14,16) в определение
^у = -/(0|Т^*)<(*')|0>, (76’17)
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
347
получим выражение, отличающееся от (76,7) лишь заменой стоящей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на
? <Ча)*.
а
Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с по-* следующим умножением на 3 — число независимых поляризаций. Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных ча* стиц (14,15). Таким образом, в результате найдем следующее выражение для пропагатора векторных частиц:
Guv (Р) = — pi _ тз + i0 (&nv (76,18)
Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов
(75,17) и (76,18): в знаменателе стоит разность р2— т2, а числитель есть, с точностью до множителя, матрица плотности неполяризованных частиц с данным спином.
§ 77. Общие правила диаграммной техники
Произведенное в § 73, 74 для некоторых простых случаев вычисление элементов матрицы рассеяния содержит в себе все принципиальные моменты общего метода. Не представляет особого труда установить путем соответствующих обобщений правила вычисления матричных элементов в любом порядке теории возмущений.
Как уже указывалось, матричный элемент оператора рассеяния S для перехода между любыми начальными и конечными состояниями совпадает со средним по вакууму от оператора, получающегося умножением S справа на операторы рождения всех начальных частиц и слева — на операторы уничтожения всех конечных частиц.
В результате такого приведения элемент S-матрицы в п-м порядке теории возмущений принимает вид
</|S^I0 = -^-<0| ... b2fbx f ... a]f ... c'lt X
X J dAx i ... d*xn T {(ф, (- ieyAx) 4>,) ... (ф„ (— ley A „) ipj} X
X cu ••• att ... bti ... 10) (77,1)
'(индексы li, 2i, .i. нумеруют начальные частицы (отдельно по* зитроны, электроны, фотоны), индексы If, 2/, ... — конечные ча< стицы; индексы 1, 2, ... у операторов if и Л означают: \f>i =* = (jci), ...). Входящие сюда операторы гр, А представляют собой линейные комбинации операторов рождения и уничтожения соответствующих частиц в различных состояниях. Таким обра*
