Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
‘) Определения f здесь и в § 37, 38 различаются общим множителем. г) Формула (80,14) отвечает формуле, найденной в задаче 1, III, § 140, и получается из нее при вещественном А и мнимом В.
366
взаимодействие ЭЛЕКТРОНОВ
[ГЛ. IJS
В обратном, ультрарелятивистском., случае имеем Л = е(1 -{- cos0), В = — ie sin 0
'(в соответствии с общей формулой (38,2)).
Если при этом падающий электрон имеет определенную спиральность (?=2Ап, Х = ±7г). то из (80,14) получается после простого приведения
S<f> = 2An'.
Другими словами, после рассеяния электрон остается спираль-ным, сохраняя прежнее значение (А,) спиральности.
Это свойство, как уже было объяснено в § 38, связано с тем, что при пренебрежении массой уравнение Дирака в спинорном представлении распадается на два независимых уравнения для функций I и г). Этот результат имеет и более общее значение, поскольку ток
] = (?’? + пЧ — ti'crri),
а с ним и оператор электромагнитного возмущения V = ejA, не содержат смешанных по | и ri членов, а потому не имеют матричных элементов для переходов между ?- и ri-состояниями. Отсюда следует, что если ультрарелятивистский электрон обладает определенной спиральностью (т. е. отлично от нуля либо %, либо г|), то в процессах взаимодействия эта спиральность будет сохраняться в приближении, отвечающем полному пренебрежению массой электрона.
§ 81. Рассеяние электронов и позитронов на электроне
Рассмотрим рассеяние электрона на электроне: два электрона с 4-импульсами ри р2 сталкиваются, приобретая 4-импульсы р', р'. Сохранение 4-импульса выражается равенством
Pi + Р2 = Р\ + Р'г (81,1)
Ниже мы будем пользоваться введенными в § 66 кинематическими инвариантами, определенными согласно
s = (Pi + Р2)2 = 2 (т2 + р,р2), t=(Pi — pfi)*=2(p* — pA),
u = (pl—p2f = 2(m2 — plp'2), (81,2)
s + t + u = 4tn2.
§ 81] РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ 367
Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (73,13—14), и его амплитуда1)
Mft = 4то?2 { у (й'2Ги2) - j- (йУи2) («'yv«,) } • (81,3)
Согласно указанным в § 65 правилам для состояний начальных и конечных частиц, описывающихся поляризационными матрицами плотности р,, р', заменяем
Mfl |2-» 16л2е4 Sp (рур^) Sp (p^PiYv) +
+ TJ3- SP (piY^P2Yv) Sp (P^PiYv) -“ 77 SP (P^P2YvPW.iPiYv) ~~tSp (PyP2YvP2YliP1Yv) } - (81,4)
Для рассеяния неполяризованных электронов (не интересуясь при этом их поляризацией после рассеяния) мы должны положить для всех матриц плотностей р= ‘/2(vp-j-m), умножив результат на 2-2 = 4 (усреднение по поляризациям двух начальных и суммирование по поляризациям двух конечных электронов). Сечение рассеяния определяется формулой (64,23), в которой надо положить согласно (64,15а) /2 = V4s(s — 4т2). Представим сечение в виде
da = dt -s(/r {/ (t, u) + g(t, u) + f(u, t) + g(u, tj},
f (t, «) = Sp [(vp2 + m) y1* (YP2 + tn) yv] X
XSp[(yp'l+m)yll(ypl+m)yv], (81,5)
g {t, u) = - Sp [(yp'2+m) у» (\P2+m) yv(yp\+m) (yp,+m) yv],
В f(t, и) сначала вычисляются следы (с помощью (22,9—10)), а затем производится суммирование по р, и v2); в g{t,u) сначала производится суммирование по р, и v (с помощью формул
(22,6)). В результате получим
f (t, и) = -jr [(р,р2)2 + (р,р2)2 + 2т2 (т2 — рхр\)\,
g “)=it (р1р2 ~2т2> (р1р2)<
•) Этот вид MfJ находится в соответствии с общим выражением (70,5)', В первом не исчезающем приближении теории возмущений из пяти инвариантных амплитуд отлична от нуля только одна: /3(/, и) = 4ne2t.
2) Отметим для будущих ссылок формулу
СА) Sp (YPi + tn) у* (YP2 + т) Yv = ^ («2 - Р1Р2) + pWz + Р>2-
368 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [ГЛ. гх
или, выразив функции f и g через инварианты (81,2),
f V, «) = тг[* \ U- + 4m2 V — m2)] • g (t, u) = g (и, 0 = т^(у — m2) — 3m2). * ’ ^
Таким образом, сечение
++ 4m! <“ ~ m!>] +17 (I - “О (i ~ 3™!) }' <81 •7>
где ге - е2/т.
Применим эту формулу в системе центра инерции. Здесь
¦4в2, t = — 4р2 sin2-|-. и = — 4p2cos2y
dt= — 2р 2d cos 0 = do
(81,8)
Цр|, 8 — величина импульса и энергия электронов, не меняющиеся при рассеянии; 0 — угол рассеяния). В нерелятивистском случае (е « т)1) получим
, 2 пт* dt ( 1 . 1 1 \
d° = Ге —(Т + 1? - 7F j =
f_TT+—Те . 2 01 2ё'У0==
Vsin у cos т Sin -2C0S T/
("-Р-) <«*>
'(v = 2p/m — относительная скорость электронов) в согласии с нерелятивистской теорией (см. III, § 137). В общем случае произвольных скоростей формула (81,7) после подстановки (81,8) и простых преобразований может быть приведена к виду
, , т2 (е2 + р2)2 Г 4 3 , ( р2 V ( | 4 \1 ,
d° — re 4Р462 L sin4 0 sin20 + I е2 +р2 ) ( + sin20 JJ
(81,10)
\Ch. Moller, 1932). В ультра релятивистском случае (р2 « е2)
, г, nt2 (3 + cos20)2 , , ч /о1 ii\
do = r-e-^r -4~in4fl-' do (у. p.). (81,11)
*) Скорость v предполагается малой (v < 1), но такой, чтобы все еще выполнялось условие применимости теории возмущений: e2/v(=e2/hv) <g 1.
РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ
369
В лабораторной системе отсчета, в которой один из электронов (скажем, второй) до столкновения покоился, выразим сечение через величину
(81,12)
— энергию (в единицах т), переданную налетающим (первым) электроном второму1). Инварианты
