Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Предположим сначала, что две частицы различные, с массами т 1 и т2 (скажем, электрон и мюон). Тогда рассеяние
384 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [ГЛ. IX
изображается одной диаграммой
¦
Ре Рг
Ей соответствует амплитуда
?(*,(?) (“2Yv«2). Я = Р\ — Pi = P2 — Р'2 (83-!)
[(здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в противном случае е2 заменяется на —е2).
Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотонный пропагатор выбрать не в обычной, а в кулоновой
калибровке (76,12—13)1):
Doo= — -q2> Ан = 0, Dik - .Q (б1к — —г1). (83,2)
Тогда амплитуда рассеяния
= е2 {(й[у\) (и2упи2) Do, + (м^Ч) («',y4) Dik). (83,3)
В пренебрежении всеми членами, содержащими 1/с, второй член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает
М1{ = — 2tnl • 2tn2 U (q), (83,4)
где
= (83,5)
а через w\0), ... обозначены введенные в § 23 спинорные
(двухкомпонентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн. Функция U (q) представляет собой компоненту Фурье потенциальной энергии кулонова взаимодействия; U (г) = е2/г.
В следующем (по 1/с) приближении «шредингеровская» волновая функция свободной частицы срШр (нормированная по
интегралу ^ | фшр I2 d3*) удовлетворяет уравнению
#(0)Фшр = (в - тс2) Фшр, М[й) = ?- S?' $ = ~ iV' <83’6>
в котором учтен следующий член разложения релятивистского выражения для кинетической энергии. Амплитуду (спинорную) такой плоской волны обозначим w (при 1/с-»-0 она переходит
*) В этом параграфе мы выписываем во всех промежуточных формулах множители с, а в окончательных формулах также и ft<
§83] УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА .385
в до(0>). Именно через эти амплитуды и должна быть выражена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ее виду можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимодействия частиц в рассматриваемом приближении.
В соответствии с формулой (33,11) биспинорная амплитуда свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» амплитуду w — с требуемой здесь точностью — в виде
« = V2s((l-?=T.H (83,7)
Op
w
2тс
С помощью этой формулы находим
J2 I „2 ,
й'^и^и-и^т^ - .РЦр-) w['w, +-^2<Ы) (orp1)a;i =
= u,'aul = — w[' {а (<тр,) + (ар^ а) wl =
= w[' {г [<rq] + 2р, + q} wl ?
где q = — р, = р2 — р'. Аналогичные выражения для (й'2у°и2)
и [u'2W2) отличаются заменой индексов 1 на 2 и соответственно заменой q на —q.
Подставим эти выражения в (83,3). Поскольку произведение («iY“i) (й'2\и2) уже содержит множитель 1/с2, в Dik можно пренебречь w2/c2 в знаменателе. В результате получим амплитуду рассеяния в виде
Mft = —2т1 • 2т2 (w['w2U (рр р2, q) w^), (83,8)
где
t/(P., Р„ = + -“Ь +
1 q 8т^с &т2с т^т2с q т^т2с q
.1 г(Т1 [qPi l г'а1 IqPa] fw2[qp2] , io2 [qp!] ,
r J . 9 2 2 2 2 * 9 9 9 |1 о о 11
4m[с q 2mlm2c a Anqc q 2mlmrjcq
+ j?.q) (°2Ч)-----(83 9)
4m1m2c q Am{m2c j
(индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные индексы они действуют: ai действует на Wu а <тг на w2).
386 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ {ГЛ. IX
Функция t/(pi,p2,q) есть оператор взаимодействия частиц в импульсном представлении. Он связан с оператором t/ (pi, рг, г) в координатном представлении формулой
(-р1Г1+р2Г2){/ (рь Г) е1 (р.г.+рЛ)^3^ =
= (2л)3б (р, + Р2 — р\ — p'2)U(Pi, Р2. Ч)- (83,10)
Если оператор О представляет собой просто функцию 1)(г) (г = Г] — г2), то U(pu рг, q) не зависит от pi, р2 и формула
(83,10) сводится к обычному определению компоненты Фурье:
^ TU (г) d3x = U (q).
Отсюда ясно, что для нахождения 0 (р,, р2, г) надо вычислить интеграл
^^(р1( р2( q)_g_ и затем заменить р,, р2 операторами Pi = — tVu р2 = —/V2, расположив их правее всех других множителей.
Нужные интегралы вычисляются дифференцированием формулы
TTSF = Т- <83’">
Так, взятием градиента находим
(Ю.12)
Далее (а, Ь — постоянные векторы)
получившийся интеграл после интегрирования по частям сводится к (83,12) и дает
S i" (Ь") А д (aV) ^ д J- [ab — . (83,13)
Наконец,
При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выражение содержит в себе б-функцию б (г). Для ее выделения замечаем, что после усреднения по направлениям г
- (aV) (bV) -1 = - (ab) А — = (ab) б (г).
УРАВНЕНИЕ БРЕИТА
387
Раскрывая теперь производные обычным образом, находим 4n(_aq)(bq) e,qr _g_ И jab _ 3 i?!i(b?LJ + ab6 (r) (83,14)
'(при усреднении по направлениям г первый член обращается в нуль и остается лишь член с б-функцией).
С помощью этих формул получим следующее окончательное выражение для оператора взаимодействия частиц:
?(Pi, Рг. г) =
е1 nethi /1 . 1 \ * / \ е2 Г« « _l г (rPi) Р2
г 2 с2
ГЛ+Л) Mr) -Гр,р%+^^1-
\ ш, т2) Чт^т^е г L г J
*** [rpi] «1 + [fpil °2 - " ¦ ¦ e ~~2 3 {[rpil °2 - trP2l Ol} -
4/n^c2r3 4ffi2C2r3 2mjm2c2r3
+i^i??-3i?!rT^?L-T“^(4 <83’i5>
Полный гамильтониан системы двух частиц в этом приближении
Н — ЙТ + Н{2 + 0, (83,16)
где #(0)— гамильтонианы свободных частиц из (83,6).
Два электрона
Если частицы тождественны (два электрона), то в амплитуде рассеяния появляется второй член, изображающийся «обменной» диаграммой
Вычислять его вклад в оператор взаимодействия, однако, нет необходимости. Дело в том, что описание системы тождественных частиц уравнением Шредингера может осуществляться с помощью такого же оператора взаимодействия, как для нетождественных частиц, если условиться о должной симметризации решений уравнения. В частности, при рассмотрении рассеяния частиц такая симметризация автоматически учтет вклады в амплитуду, соответствующие обеим фейнмановским диаграммам.
