Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
а*(»)=—(82,4)
Тогда и для 4-токов перехода в (82,2) нужны только их пространственные компоненты.
Атомный ток перехода Jno(q) в данном случае есть компонента Фурье обычного нерелятивистского выражения:
J»° (Ч) ¦= Ш 5 е_гчГ WK ~ W%) d3*, (82,5)
где фо, — атомныезолновые функции (причем для упрощения записи мы опускаем здесь и ниже знак суммирования по электронам атома, т. е. пишем формулу так, как если бы в атоме был всего один электрон). Проинтегрировав в первом члене по
частям, можно переписать это выражение в виде матричного
элемента:
4о (ч) = у (ve-<4r + e~/4rv)no. (82,6)
где v =---— V — оператор скорости электрона.
378 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [ГЛ. IX
Что касается тока перехода рассеиваемой частицы, то ввиду относительной малости теряемого ею импульса (|я|"С|р|) можно заменить его. просто диагональным элементом
J^(0) = 2P2, (82,7)
отвечающим классическому прямолинейному движению (ср. ниже (99,5)); здесь введен также множитель г, учитывающий возможное отличие заряда частицы (ze) от заряда электрона.
Малость q означает также и малость угла отклонения частицы •&. При этом продольная и поперечная (по отношению к р) компоненты q равны
= ?±~!р|0, (82,8)
так что qp та —ео)ло.
Подстановка (82,4—8) в (82,2) дает с учетом того, что (о=(оло-’
Mfi = — —р— ^ п j (qve~'qr + e~;qrqv)+(pve~'4r+e~'qrpv) Jo^.
В первом члене замечаем, что
qv/ + /qv = 2if,
где / = e-'qr (см. III, § 149); поэтому матричный элемент этого
оператора совпадает с матричным элементом 2i (f)n0 = 2a>n0fn0. Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости q, e~tqr единицей. Тогда
щп) = _ |е (e-'qr)n0 _ fprno©n0}.
Квадрат модуля этого выражения:
и;т - -^Р'- I <«“"“>*> Г+2 (v«) к») “*>+(pU!
(82,9)
(во втором члене здесь положено е~1цг 1 —/qr; в первом члене этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже,^— см. примеч. на с. 380),
Потери энергии быстрой частицей в результате ее неупругих столкновений с атомами ') определяются величиной
*=? Kda-=wZKolMWГd°f> (82> 10)
а п
где суммирование производится по всем возможным конечным состояниям атома, а интегрирование — по направлениям рас-
‘) Эти потери часто называют ионизационными, хотя они связаны не только с ионизацией, но и с возбуждением атомов.
§ 82] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ 379
сеянной частицы; будем называть эту величину эффективным торможением (отношение и/е называют сечением потери энер' гии\.
Интегрирование в (82,10) можно произвести в два этапа: как усреднение по азимуту направления р' относительно р и затеи интегрирование по do' « 2лО dft, где О — малый угол отклонения. Первая операция заменяет qr„0 на
Чгпо-*?л*„0=--^*„о.
где х„о—матричный элемент одной из декартовых координат атомных электронов1). Интегрирование же по О можно заменить интегрированием по q2, заметив, что
- V2 = - 0^ + q2 « - о2о + ф. + р202 = + р202 (82) ! ! )
и потому 20dft = d\q2\/$2 (М — масса быстрой частицы). В результате получим
d\q2\ !<?212 '
(82,12)
X - 4л («¦)¦ ? 5 {| (*-<*)„ р ia - »з01 р (-? + i) }w
Нижний предел интегрирования по q2;
l«*U—(82-13)
В качестве же верхнего предела выберем некоторое значение | q2\ j такое, что
(82,14)
т. е. лежащее в области перекрытия областей 1 и II (82,1).
Интегрирование и суммирование в (82,12) осуществляется подобно тому, как это было сделано в III, § 149 для нерелятивистского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на две части: а) от j^2|min до |^2|о и б) от |^2|0 до |<?21ь где значение |<?2|о такое, что
« л/wl « та (82,15)
'(величина та справа — порядка импульсов атомных электронов). В области а) можно разложить e~‘v » 1 —/qr, и вклад
') Безразлично какой: после подразумевающегося ниже суммирования по направлениям момента атома в конечном состоянии матричный элемент Хпо уже не зависит от направления оси х.
380 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [ГЛ. IX
этой области в и принимает вид
I Ч‘ I»
4»<“s>2? S
П |?Чт1п 141 н
_ 4я(ге2)2 у рПл и21
~ о2 2_,®по\Хпо\ [1п -^Г ®J-
(Интегрирование во втором члене можно распространить до бесконечности.)
Суммирование осуществляется с помощью формулы
Z^o\xn0\2 = ~’ <82*16>
П
где Z — число электронов в атоме (см. III (149,10)). Результат представим в виде
9.n{ze2)2Z Г, | д2 |о р2 У) (R9 17\
mv2 [ П МЧ2 V ]’ (82,17)
где /— некоторая средняя атомная энергия, определяемая формулой
ЕшлоКо121по)ло 9 _
ln/=^V----------i----^ I I2 ш„0. (82,18)
л0 I пО I
В области же б) имеем согласно (82,11) | *721 « р2^, т. е. \q2\ не зависит от номера п конечного состояния атома; не зависят от п также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по л в (82,12) можно произвести под знаком интеграла. В первом члене оно осуществляется формулой
?l(e-iqr)nol2®no = !!-q2 (82,19)
П
(см. III (149,5)), и интеграл от него равен1),
2nZ(ze2)2 |<72|,
mv2 1П | q1 |о '
Интеграл же от второго члена в (82,12) по этой области дает пренебрежимый вклад в х.
1) Логарифмическая расходимость интеграла на верхнем пределе есть как раз та причина, по которой в первом члене в (82,12) нельзя было разлагать e_iqr по степеням <j.
