Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
е4 1 + cos4 (0/2)
= sin4 {0/2)
В лабораторной системе (в которой до столкновения покоится электрон) :
л, - 2* Л?.у (, - if).
V т) ^ Дти 26^ )
Здесь ец — энергия, a Vji = рц/е^ — скорость налетающего мюона; /пД = = ъ'в — т = — энергия электрона отдачи, а
2р2
х /па + ц2 + 2/ne,i
— максимальное значение Д.
7. Определить отношение сечеиий взаимного рассеяния спиральных электронов и мюонов с параллельными и антипараллельными. спинами в ультрарелятивистском случае (е^ ^ ц, ев ^ т).
Решение1), Аналогично задаче 4 находим
daHldaH = cos4 (0/2)
(0 — угол рассеяния в системе центра инерции).
8. Определить сечение превращения электронной пары в мюонную (В. Б. Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1955).
Решение. Это другой кросс-канал реакции, к которой относится це-рассеяние. В этом канале
S = (Ре — Рц)2, * = (Ре + Ре)2. “ = (Ре ~ Рц)2.
где ре, ре — 4-импульсы электрона и позитрона, а р^, рц — 4-импульса мюона и антимюона. Порог реакции отвечает энергии электронной пары, равной (в системе центра инерции) 2ц, так что должно быть t > 4ц2. В лабораторной системе, в которой до столкновения покоится электрон, а позитрон имеет энергию е+,
/ = 2m (е+ + т) 2те+,
так что должно быть е+ > еп, где пороговая энергия еп = 2ц2//п (здесь и ниже произведены все пренебрежения, допускаемые неравенством ц 3> т). Дифференциальное сечение (вместо (1), (2) задачи 6)
da -¦
4яе4 ds ... . . , ds Г s2 + “2 , n it Л
f (/, и) » 4яе4 -р-+ 2ц2/ - ц J.
(t — 4m2) t
При заданном t величина s пробегает значения между границами, определяемыми уравнениями su « ц4, s + / + и « 2цг, т. е.
ц* — у — у л/t (t 4ц2) < s < ц2 — у + у '/НГ—
*) Другой способ решения этой задачи дан в конце § 144,
376
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[ГЛ. IX
Элементарное интегрирование приводит к результату)
4я 2 т2 /, 4ц2 2ц2 \ е2 . .
°~ТЛ-Г Л/’---------Ге==~т (1)
(в лабораторной системе t = 2me+). Эта формула неприменима в непосредственной близости к порогу: когда е+ — еп ~ це4, образующиеся мюоны нельзя считать свободными частицами (с учетом же кулонова взаимодействия между ними сечение будет стремиться при е+->-еп не к нулю, а к константе — см. III, § 147).
Сечение (1) максимально при е+ = 1,7еп. Его значение в максимуме примерно в 20 раз меньше сечения двухфотонной аннигиляции при той же энергии.
§ 82. Ионизационные потери быстрых частиц
Рассмотрим столкновения быстрой релятивистской частицы с атомом, сопровождающиеся возбуждением или ионизацией последнего. В нерелятивистском случае такие неупругие столкновения были рассмотрены в III, § 148—150; здесь будет дано релятивистское обобщение полученных там формул (H.A.Bethe, 1933).
Скорость падающей на атом частицы предполагается большой по сравнению со скоростями атомных электронов (тем самым во всяком случае предполагается, что Za «С 1, т. е. атомный номер не слишком велик). Этим условием обеспечивается применимость борновского приближения к рассматриваемому процессу. Решение задачи несколько различно в зависимости от того, является ли быстрая частица легкой (электрон, позитрон) или тяжелой (мезон, протон, a-частица и т. п.). Мы рассмотрим здесь последний случай, более простой.
Пусть р = (е, р) и р' = (е', р')—начальный и конечный импульсы быстрой частицы в лабораторной системе отсчета, в которой атом до столкновения покоился; разность q = р' — р дает энергию и импульб, передаваемые частицей атому. Разделим весь интервал возможных передач импульса на две области:
I )•?<«, И)-?>/, (82.1)
где т—масса электрона, /—некоторая средняя атомная энергия (потенциал ионизации атома). Области перекрываются друг с другом при / <С ц2/т «С гп\ это обстоятельство позволит произвести точную сшивку результатов, получающихся для каждой из областей. Будем говорить о значениях q в первой и во второй областях соответственно как о малых и больших передачах импульса.
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
377
Малые передачи импульса
В этой области атомные электроны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так и в конечном состояниях атома.
Амплитуда процесса дается выражением
M{fV = eYn0 i-q) Гр'р (q) (q), (82,2)
где /ад — 4-ток перехода атома из начального состояния (0) в конечное (п), Jp>p — 4-ток перехода быстрой частицы; эти токи заменяют здесь собой выражения (й'уи), которые стояли бы, например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц — электрона и мюона (73,17) (ср. также (139,3)). Токи перехода берутся в импульсном представлении (см. (43,11)). Сечение процесса в лабораторной системе отсчета:
dan = 2л6 (е - е' - со„0) | |2 2 ,.р • (82’3)
где ©по == Еп — Е0 — частота перехода между состояниями атома. Конечное состояние может относиться как к дискретному, так и к непрерывному спектру; первый случай отвечает возбуждению, а второй — ионизации атома. В законе сохранения энергии (учитываемом б-функцией в (82,3)) пренебрежено энергией отдачи атома, что заведомо допустимо при малых передачах импульса.
Фотонный пропагатор удобно выбрать в данном случае в калибровке (76,14), в которой отличны от нуля лишь его пространственные компоненты:
