Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Предполагая Т- и Р-инвариантность, будем иметь (с точностью до фазового множителя) Mif = Мру, где состояния i', f отличаются от i, f лишь знаком спиральностей частиц (при тех же импульсах). Взяв сумму равенств (79,3) и такого же для Mf,(, — М'(Т, получим
Im Л?}ГН0Ч) =-лд (р2 - М2) R, (79,4)
360
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
1ГЛ. VIII
где обозначено
Мц = Mfi + Mf'i', R— — (MfnMin + Mf'nMi'n).
A
Отсюда и следует, что Mfi как аналитическая функция от р2 = р2 = р2 имеет полюс при р2 = М2. Согласно (75,18) имеем для полюсной части
Реальные переходы в одночастичное состояние возможны только при значении Р2 = Р2, равном М2. Таким образом, мы действительно получили структуру амплитуды рассеяния, отвечающую диаграмме вида (79,1).
Наконец, остановимся на важном свойстве диаграмм, содержащих замкнутые электронные петли. Это свойство можно легко получить путем применения к виртуальному фотону понятия зарядовой четности: виртуальному фотону, как и реальному, надо приписать определенную (отрицательную) зарядовую четность1).
Если некоторая диаграмма содержит замкнутую петлю (с числом вершин N > 2), то наряду с этой диаграммой в амплитуде рассматриваемого процесса должна фигурировать также и другая диаграмма, отличающаяся от первой лишь направлением обхода петли (при iV = 2 понятие направления обхода, очевидно, не имеет смысла). «Вырежем» эти петли по идущим к ним пунктирным линиям. Мы получим тогда две петли Hi и Пц:
которые можно рассматривать как диаграммы, определяющие амплитуду процесса превращения одной совокупности фотонов (реальных или виртуальных) в другую: число N есть при этом сумма чисел начальных и конечных фотонов. Но сохранение зарядовой четности запрещает превращение четного числа фотонов в нечетное. Поэтому при нечетном N сумма выражений, соответствующих петлям (79,6), должна обратиться в нуль. Обращается, следовательно, в нуль также и суммарный вклад в амплитуду рассеяния двух диаграмм, содержащих эти петли
R
(79,5)
р2 — М2 + i0 ‘
(79,6)
?
\
') Это следует из тех же соображений о действующем в каждой вершине операторе электромагнитного взаимодействия, которые были указаны в § 13 для реального фотона.
ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ
361
в качестве своих составных частей (так называемая теорема Фарри; W. Н. Furry, 1937).
Таким образом, при составлении амплитуды какого-либо процесса можно вовсе не рассматривать диаграмм, содержащих петли с нечетным числом вершин.
Проследим более детально за происхождением указанного взаимного сокращения диаграмм. Замкнутой электронной петле отвечает выражение (при заданных импульсах фотонных линий k\, &2, ..., &лг)
5 d*p • Sp [to) G (p) (ve2) G (p+ kx) ... ], (79,7)
где p, p-\-ki, ... — импульсы электронных линий (остающиеся не вполне определенными после учета законов сохранения в вершинах). Произведем над всеми матрицами у*1 и G операцию зарядового сопряжения, т. е. заменим их на (/c'y'Vc и Uc GUc. Выражение (79,7) при этом не изменится, так как след произведения матриц инвариантен относительно такого преобразования. С другой стороны, согласно (26,3)
UcYuc = -y\ (79,8)
а потому
UclG(p)Uc= =G(-p). (79,9)
Но замена G(p) транспонированной матрицей с измененным знаком у р означает, очевидно, изменение- направления обхода петли, в которой направление всех стрелок заменяется обратным. Другими словами, произведенное преобразование превращает одну петлю в другую, причем появляется множитель (—1)^, происходящий от замены (79,8) в каждой вершине. Таким образом,
П^М^Пи,- (79,10)
т. е. вклады обеих петель одинаковы при четном и противоположны по знаку при нечетном числе вершин.
ГЛАВА IX
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
§ 80. Рассеяние электрона во внешнем поле
Упругое рассеяние электрона в постоянном внешнем поле представляет собой простейший процесс, существующий уже в первом приближении теории возмущений (первое борновское приближение). Ему отвечает диаграмма с одной вершиной
(80,1)
Р
где р и р' — начальный и конечный 4-импульсы электрона, а (f = p’ — р. Поскольку энергия электрона при рассеянии в постоянном поле сохраняется (е = е'), то q = (0, q)1). Соответствующая амплитуда рассеяния
Mft = — ей (р') [уА<в> (q)] и (р\ (80,2)
где A(e>(q)—компонента пространственного разложения Фурье внешнего поля. Сечение рассеяния согласно (64,26):
(80,3)
Для электростатического поля Aie) = (Лов), 0), так что
Mft = —ей (р') y°«(р) Ai;> (q) = — ей [р') и (р) A(f} (q). (80,4)
В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды плоских волн и(р) сводятся к нерелятивистским (двухкомпонентным) амплитудам. Для рассеяния без изменения поляризации это — не зависящая от р величина, причем в силу принятого нами условия нормировки и*и = 2т. Учитывая это, получаем
da =
~?t/(q)|2 do',
[) В случае внешнего поля такая диаграмма не запрещается, конечно, законом сохранения 4-импульса (как это было в диаграмме (73,19) с реальным фотоном): квадрат q2, в отличие от квадрата 4-импульса реального фотона, не должен быть равен нулю; из интеграла Фурье, представляющего внешнее поле, автоматически выбирается компонента с нужным q.
