Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТР&Х ЧАСТИЦ
381
Складывая последнюю формулу с (82,17), находим вклад в х от всей области малых передач импульса;
^^[Ш-Ц^-4 (82,20)
Большие передачи импульса
Обратимся к столкновениям с передачей импульса, большой по сравнению с импульсом атомных электронов (q2^>m/). В этой области можно, очевидно, пренебречь связью электронов в атоме, т. е. считать их свободными. Соответственно этому столкновение быстрой частицы с атомом будет представлять собой ее упругое рассеяние на каждом из Z атомных электронов. При этом ввиду большой скорости частицы атомные электроны можно считать первоначально покоящимися.
Обозначим посредством тА энергию, передаваемую быстрой частицей атомному электрону, и пусть do& — сечение упругого рассеяния с такой передачей. Дифференциальное эффективное торможение на всем атоме будет тогда
dx — Zm&daA. (82,21)
Максимальная энергия, которая может быть передана покоящемуся электрону сталкивающейся с ним частицей массы М m, равна
. 2mp2 _ 2mp2
TOW — m2 + M2 + 2me ~ M2 + 2me ’
где e и p — энергия и импульс налетающей частицы (см. II
(13,13)). Будем предполагать далее, что энергия е хотя и может быть ультрарелятивистской (e ^>iW), но в то же время
е_-С М2/т. (82,22)
Тогда даже максимальная передаваемая энергия
шАтах ~ 2тр2/М2 = 2mv2y2, у = г/М = 1/д/1 — о2 (82,23)
остается еще малой по сравнению с первоначальной кинетиче;
ской энергией падающей частицы (тАтах -С е — М). Соответственно и передача импульса q остается всегда малой по сравнению с первоначальным импульсом частицы р. Это обстоятельство позволяет считать движение последней неменяющимся при столкновении, т. е. рассматривать падающую частицу как бесконечно тяжелую. Тогда сечение рассеяния получится просто преобразованием сечения рассеяния электрона на неподвижном центре (80,7) к лабораторной системе отсчета, в которой электрон первоначально покоился. Это легко сделать, заметив, что
382 взаимодействие электронов [ГЛ. ix
в указанном приближении
— q2 р» q2 = 4р2 sin2 у, dof = ^P~,
L р
а относительная скорость v в обеих системах — одна и та же. Формула /80,7) принимает вид
j- - _4я (ze2)2 (1 _ _1?Ц_л ilsll
v2 V 4msv* / 1 ?2 P ‘
Передача энергии Д выражается через тот же инвариант q2 согласно —q2 = 2т.2Д. Поэтому имеем !)
1 2л (ze2)2 /, о Д \ dA
(82,24)
Вклад в эффективное торможение от рассматриваемой области передачи импульса получится интегрированием (82,21) в пределах от введенной выше границы |^2|i до |^2|тах = = 2т2Дгаах. Он равен
-2n~mS)2? (ln^pf-~v2)- (82’25)
Наконец, сложив вклады (82,20) и (82,25), получим окончательно следующий результат для полных ионизационных потерь быстрой тяжелой частицы:
4nZ (ze2)2 (. 2mv2 v2 \ /QO
54 = (ln 7(T-~*/7*) ~ ir) (82-26)
(в обычных единицах). В нерелятивистском случае отсюда по-
лучается прежняя формула III (150,10):
4nZ (ze2)2 . 2mv2 , > /QO
* =—Г~ Р^> <82'27)
а в ультрарелятивистском случае
‘) (у ^ (8228|
Торможение зависит только от скорости (но не от массы) быстрой частицы. Убывание торможения при увеличении скорости согласно (82,27) сменяется в ультрарелятивистской области медленным (логарифмическим) возрастанием.
¦) В этой формуле не учитываются, конечно, специфические эффекты сильных взаимодействий, если тяжелая частица является адроном. Этн эффекты (адронный формфактор), однако, становятся существенными лишь при 19*1 ~ 1/Л12, а при условии (82,22) такие передачи импульса исключены.
5 831
УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА
383
Задачи
1. Определить эффективное торможение релятивистского электрона.
Решение. Вклад области малых передач импульса по-прежиему дается выражением (82,20). Для области больших передач вместо (82,24) следует воспользоваться формулой (81,14), учитывающей обменные эффекты. Интегрируя Д<*(Гд по dS от \q2\\/2m2 до (у—1)/2 и складывая с (82,20), находим
2я2е4 Г)п т2 (у2 — 1) (у — 1) с* (2 1 . (у — 1)
mo2 L 2/2
(1 -02/с2Г1/2.
В иерелятивистском случае получаем формулу из задачи к III, § 149,
а в ультрарелятивистском (у 1)
2nZe* ( т2с*\3 .14 /0ч
Х = тс^~ \ 2Т2 1Г/ (2)
2. То же для позитрона.
Решение. Для daд в области больших передач следует воспользоваться (81,23), причем верхний предел по Д равен у—1- Ответ в ультра-релятнвнстском случае:
2nZe* / 2т2с*у3 23 \
тс2 I. Т2 12 /’
§ 83. Уравнение Брейта
Как известно, в классической электродинамике система взаимодействующих частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей самих частиц и правильной с точностью до членов — 1 /с2 (см. II, § 65). Это обстоятельство связано с тем, что излучение появляется лишь как эффект порядка 1/с3.
В квантовой теории этой ситуации соответствует возможность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внешнем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено в § 33. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения* описывающего систему взаимодействующих частиц.
Будем исходить из релятивистского выражения для амплитуды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приближении она переходит в обычную борновскую амплитудуТ пропорциональную компоненте Фурье потенциала электростатического взаимодействия двух зарядов. Вычислив же амплитуду с точностью до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответствующего ей потенциала, учитывающего члены ~1 /с2.
