Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 139

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 244 >> Следующая

Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей с частотами порядка атомных (и меньшими). Соответствующие длины волн велики по сравнению с атомными размерами. Поэтому оператор электромагнитного взаимодействия может быть взят в виде
р' = —(ri) 3,-6 (га) За, (85,4)
где db d2— операторы дипольных моментов атомов (имеются в виду зависящие от времени — гейзенберговские — операторы), а Е(г) — оператор электрического поля, который берется в точках нахождения соответствующих атомов.
Как известно, средние значения дипольного момента атома в его стационарных состояниях равны нулю (см. III, § 75). Отсюда следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как матричный элемент оператора
S(4) = ^ 5 dtx ... 5 dt, . Т {V (f,) V (t2) V (t3) V № (85,5)
!) ^Вместо более громоздкого обозначения диагонального матричного элемента — с указанием состояний атома и фотонного поля,
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ
397
Действительно, в более низких порядках каждый член в произведениях операторов V будет содержать хотя бы один из операторов dt или d2B первой степени и при усреднении по состоянию соответствующего атома обратится в нуль.
Усредним оператор (85,5) по фотонному вакууму. По теореме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Е сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток). Разбиение на пары может быть произведено тремя способами, которые можно изобразить диаграммами:
/ г 1 г
\ У 9 0
X i ! <85'6>
\ 11
3 4 3 4
где пунктирные линии изображают свертки, а цифрам отвечают аргументы t\, t2, /3, ti. Кроме того, каждой точке могут отвечать пространственные координаты Г[ или г2 (причем двум точкам п и двум г2; в противном случае в данном члене суммы один из операторов d! или d2 войдет в первой степени и обратится в нуль при усреднении по состоянию атома). Очевидно, что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные п и г2. В противном случае диаграмма (т. е. соответствующий ей член в матричном элементе) сведется к произведению независимых функций от Г! и от г2, вместо того чтобы быть функцией от разности п — г2; такие члены не имеют отношения к рассеянию1). В соответствии с этими условиями можно расставить аргументы П и г2 по четырем точкам диаграммы четырьмя способами. Учитывая также коммутативность операторов dt и d2 и усредняя по состояниям каждого из атомов, находим, что все получающиеся таким образом 3-4=12 членов одинаковы (они различаются лишь обозначением переменных интегрирования). В результате получим
<5 (г)) = у ] dtl ¦ ¦ • 5 dt* • <Т ^ <Г2’ *»))> X
X <т {El (г2, *з) Ет (г„ Ш(Т {du (f,) dlm (Щ(Т {d2k {t2) d2l {t3))\ (85,7)
где i, k, ...— трехмерные векторные индексы.
Для вычисления величин
Dfk (*, - х2) = (Т (Е, (дсО Ек {х2))) (85,8)
¦) Они дают не интересующие нас здесь поправки к собственным энер гиям каждого из атомов.
398 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [ГЛ. I»
воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный потенциал Ф = 0. Тогда Е = —dAjdt, и мы имеем
D?* (*, - *2) = (Т (At (*,) Ак (х2))) = i Dlk (х),
где х=х\ — Х2, a Dik(x) — фотонный пропагатор в данной калибровке1).
Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором ?)^(ю, г) в смешанном со, г-представлении, который связан с Dik(t, г) согласно
Dlk(t, r)=\Dlk(w, г),
При этом
Dfk (t, г) =» -i J с»2Dik {©, г) е~ш^. (85,9)
Величины
atk — h) = / (Т (d, (/[) dk (t2))) (85,10)
разлагаем в интеграл Фурье
atk (0 = J е~Шац(а>)-?~-
*— 30
Положив для удобства t2 = 0, ti = t, запишем по определению Г-произведения
оо
“<*(«)== 5 =
— оо
0 оо
= / 5 еш (dh (0) dt (/)> dt + i 5 еш (,i, (t) dk (0)> dt. (85,11)
-~oo (j
Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) значения выражаются через матричные элементы дипольного момента;
(dk (0) dt (t)) = Z (dh)o„ (dt)nо
H
(d( (t) dk (0)) = Z (dfk (dk)aо e'1"'”*.
l) Первая производная -^-Dik(t) имеет конечный скачок при /= 0.
Поэтому вторая производная, т. е. функция Z>fA (i), содержит также б-функ-ционный член (~б<4)(д:2 — *i).). Этот член, однако, равен нулю при всех П ф г2 и нас здесь не интересует.
5 85} ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ 399
Для сходимости интегралов в (85,11) в первом из них надо понимать ю как ю — гО, а во втором — как ю + Ю. Произведя интегрирование, получим
а1к (<в) = У { (rf‘)on Ш,*г + ¦ {-dk)'Г (d')n0n}. (85,12)
\ (оп0 — оо — гО (оп0 + (о — «0 j 4 '
п
Если основное состояние является S-состоянием, то этот тензор сводится к скаляру: а,** = аб^, где
<85-13>
п
Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится после усреднения по его направлениям, что и будет подразумеваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усредненное по их взаимным ориентациям).
Сравнив (85,12) с выражением (59,17), мы увидим, что оь,-&(со) совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона частоты ю на атоме.-Согласно (59,23) а (а) при ю > 0 совпадает с поляризуемостью атома. Значения же а(ю) при а> < 0 выражаются через значения при ю > 0 с помощью очевидного из (85,13) соотношения а {—ю) = а (со).
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed