Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Здесь \i0 = e1i/2mc — магнетон Бора, ftl = [rp] — оператор орбитального момента, S = (<x+ + о_)/2 — оператор полного спина системы (его квадрат S2= >/2 (3 + <т+<т_)). В У, включены все поправочные члены чисто орбитального характера; У2 — спин-орбитальное взаимодействие; У3 включает в себя спин-спино-вое и «аннигиляционное» взаимодействия.
Невозмущенный гамильтониан
т г
отличается, естественно, от гамильтониана атома водорода лишь заменой массы электрона приведенной массой т/2. Уровни энергии позитрония поэтому вдвое меньше (по абсолютной величине) уровней атома водорода:
E = ~W (84.2)
(п — главное квантовое число).
Остальные члены в (84,1) приводят к расщеплению уровней |(84,2) —появлению тонкой структуры. Возникающие уровни классифицируются прежде всего по значениям полного момента /. Мы видим также, что операторы спинов частиц входят в гамильтониан (84,1) только в виде суммы S. Это значит, что гамильтониан коммутативен с оператором квадрата полного спина S2, т. е. полный спин продолжает сохраняться и в рассматриваемом (втором по 1/с) приближении. Поэтому уровни энергии позитрония можно классифицировать также и по полному спину, принимающему значения 5 — 0 и S = 1. Уровни со спином О называют уровнями парапозитрония, а уровни со спином 1 — уровнями ортопозитрония.
Следует подчеркнуть, что сохранение полного спина в позитронии является в действительности точным законом, не
') В обычных единицах.
392
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[ГЛ. IX
связанным с тем или иным приближением по 1/с; он следует из CP-инвариантности электромагнитных взаимодействий. Позитроний представляет собой истинно нейтральную систему, а потому его состояния характеризуются определенными зарядовой и комбинированной четностями. Последняя равна (—1)5+1 (см. задачу к § 27); поскольку S может иметь лишь два значения, 0 и 1, то сохранение комбинированной четности эквивалентно сохранению полного спина.
При S = 0 полный момент / совпадает с орбитальным. При спине же 5 = 1 и заданном / число I пробегает значения /, / ± 1, соответственно чему каждый уровень (п, }) ортопозитрония расщепляется, вообще говоря, на три уровня. Поскольку значениям l = j и 1 = }± 1 отвечают различные четности, гамильтониан не имеет матричных элементов, связывающих эти состояния. Однако оператор возмущения (первый член в Рз), вообще говоря, имеет недиагональные элементы, связывающие состояния с I — = /+ 1 и / = /— 1; при этом число I теряет, разумеется, строгий смысл орбитального момента.
Специфическими свойствами обладает эффект Зеемана в позитронии (В. Б. Берестецкий, И. #. Померанчук, 1949).
Орбитальный магнитный момент позитрония равен всегда нулю: поскольку в позитронии [г+р+] = [г_р_], оператор
= Но ([г+Р-Л — [r-Р-]) = 0.
Оператор же спинового магнитного момента
= — <*-) (84,3)
не пропорционален оператору полного спина S = 7г (0+ +<*-), а операторы S2 и ц2 не коммутативны. Поэтому состояния с определенными значениями полного спина S и его проекции Sz не являются, вообще говоря, собственными состояниями для магнитного момента.
Состояния с заданными S и Sz описываются спиновыми функциями %ss , имеющими вид
Xu = а+а_, Xi-i = Р+Р-»
Ум = уГ + а-Р+)» (84,4)
5Coo==^j (а+Р- — а-Р+).
где а и р — спиновые функции одной частицы, соответствующие проекциям спина + 7г и —7г (индексы «+» или «—» указывают, что функция относится к позитрону или электрону). Из них первые две (хп и Xi-0 — одновременно и собственные функции one-
ПОЗИТРОНИИ
393
ратора (xz, отвечающие собственному значению (iz = 0. Функции же Х'о и Хоо не являются собственными функциями (xz; таковыми являются комбинации
^=-(Хю + Хоо) = а+Р-. ~^=‘ (Хю ~ Хоо) — «-Р+- (84.5)
Легко видеть, что единственными отличными от нуля элементами матрицы (S'S'z | цг | SSZ), вычисленными по функциям
(84,4), являются элементы
<00 | (хг | 10) = <10 |(хг| 00) = 2(v (84,6)
В слабых магнитных полях (когда \ioH С А, где Д — разность между энергиями уровней с 5 = 0 и 5 = 1) исходным приближением для вычисления зеемановского расщепления являются состояния с определенными значениями полного спина. В первом приближении это расщепление дается средним значением оператора энергии возмущения
9н = -»гн.
Но все диагональные матричные элементы оператора (хг (а тем самым и Рн), вычисленные по функциям (84,4), равны нулю. Таким образом, в слабых полях линейный эффект Зеемана в позитронии отсутствует.
В противоположном предельном случае сильных полей (fi0Н » Д) можно пренебречь взаимодействием спинов, приводящим к установлению определенных значений 5. Компоненты расщепленного уровня будут в этом случае соответствовать состояниям с определенными значениями (1г=±2ц0 (описываемым функциями (84,5)), а величина их сдвига будет составлять rt2|*io Н.
Задачи
1. Определить тонкую структуру уровней парапозитрония (В. Б. Вере-стецкий, 1949) ').
Решение. Искомая энергия расщепления уровня дается средними значениями поправочных членов в гамильтониане (84,1), вычисленными по волновым функциям невозмущенных состояний с различными значениями / = / (равными 0, 1, ..., п.— 1). При S = 0 отличный от нуля вклад возникает только от P"i и второго члена в V3.
