Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 138

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 244 >> Следующая

Невозмущенные волновые функции (обозначим их т|з) удовлетворяют уравнению Шредингера2)
р^ = _дф=(? + ±) ? = -1Ь.
') Вычисление тонкой структуры ортопозитрония см. Соколов А. А., Цытович В. Я.//ЖЭТФ. — 1953. — Т. 24, —С. 253.
2) При вычислении удобно пользоваться атомными единицами.
394 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ 1ГЛ. IX
Поэтому
рЧ = р* (fi + y) Ф = (я + 7-)%-ФАт--2 (7-)-) (VM*) —
/ 1 \2 2 <9ib
= (? + —J ф + 4я6 (г) i]) + -р—др-.
Среднее значение:
Р4 = + 4я | ф (0) |2 + ^ ^ 3 ^ dr do.
о
Последний интеграл равен — ^ 1 ij> (0) |2 do', поскольку ij> (0) =5^= 0 только при
1 = 0, а волновые функции 5-состояний сферически-симметричны, интеграл равен —4n|iJ)(0)|a и сокращается со вторым членом.
Введя оператор орбитального момента 1=[гр], запишем:
Отсюда получаем для другого нужного нам среднего значения ^ Ф* 7Г (ГР) й> d3x = - ^ а*х =
-7- (? + у)-4я |ф(0) !¦ — /(/ + 1)?=»
(при 1 = 0 последний член отсутствует).
Согласно известным формулам теории атома водорода (см. III (36.14), (36,16))—с учетом замены массы электрона и на т/2— имеем
l*(0>l2 = W6'°’
Г~1 *=~2пТ‘ Г~г= 2п3(21+\)' Г~3:== 4n3l(l + 1) (2/+ 1) (/=ilfe0)-
С помощью написанных формул получим для искомых уровней энергии парапозитрония
F_________1___2 1 (______________}_11 \
nl 4п2 “ h2 2п3\2[+\ 32п /
2. Определить разность энергий основных состояний (п = 1, / = 0J орто- и парапозитрония.
Решение. Зависимость энергии от полного спина 5 при 1 = 0 содержится лишь в среднем значении второго члена в Рз (первый же член обращается в нуль при усреднении по углам в сферически-симметричном 5-состоянии1)). Основной уровень ортопозитрония (35i) лежит выше основного уровня парапозитрония ('5о) на величину
Е (35i) - Е (lS0) =-1- а2 = 8,2 . 1(Г4 эВ.
*) Усреднение по углам должно производиться до интегрирования по г, как это видно из способа вычисления интеграла (83,14), приводящего к первому члену в Р3.
* 85)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЁКИХ РАССТОЯНИЯХ
395
§ 85. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях
Между двумя нейтральными атомами, находящимися на больших (по сравнению с их собственными размерами) расстояниях г, действуют силы притяжения. Обычное квантовомеханическое вычисление этих сил (см. III, § 89) становится, однако, неприменимым на слишком больших расстояниях. Дело в том, что в этом вычислении рассматривается лишь электростатическое взаимодействие, т. е. не учитываются эффекты запаздывания. Такое рассмотрение справедливо лишь до тех пор, пока расстояние г остается малым по сравнению с характерными длинами волн Хо в спектрах взаимодействующих атомов. В этом параграфе будет произведено вычисление, свободное от такого ограничения.
Поступим примерно так же, как в § 83, т. е. будем вычислять в первом не исчезающем приближении амплитуду упругого (без изменения внутреннего состояния) рассеяния двух различных атомов. Полученное выражение сравним с амплитудой, которая получилась бы при описании взаимодействия атомов потенциальной энергией U{r).
В последнем случае первым не исчезающим элементом 5-матрицы, описывающим данный процесс, был бы элемент первого приближения
Sfi = —i \ С (г,) ф'* (г2) U (г) (г,) 1|з2 (г2) (fxid3x2 X
XS ехр{—i (е, + е2 — е' — е2) t}dt. (85,1)
Здесь i|),, i|)2 и ¦фр i|)2— не зависящие от времени части волновых функций (плоских волн), описывающих поступательное движение двух атомов с начальным и конечными импульсами; ei, и е', е2 — кинетические энергии этого движения; координаты rj и г2 атомов как целого можно понимать как координаты их ядер, а расстояние л = J гi — г21. Временной интеграл в (85,1) дает, как обычно, б-функцию, выражающую собой закон сохранения энергии. Для дальнейшего сравнения будет, однако, удобно формально рассматривать предельный случай бесконечно больших масс атомов; при заданных их импульсах этому пределу отвечают равные нулю энергии е. Иначе можно сказать, что рассматриваются времена, малые по сравнению с периодами 1/е. Тогда (85,1) примет вид
Sf( = —it ^ (г) ^^d3*^3^, (85,2)
где t — интервал интегрирования по времени.
896
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[ГЛ. IX
Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния можно при сделанных предположениях разбить на два этапа. Сначала усредняем 5-оператор по волновым функциям неизменных (основных) состояний обоих атомов (при заданных координатах их ядер г j и г2), а также по фотонному вакууму — в начале и в конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим величину, являющуюся функцией от расстояния между ядрами; обозначим ее <5(г))1). Чтобы найти искомый матричный элемент перехода, надо вычислить затем интеграл
Sf‘= S <5 И) %№\d3x2. (85,3)
Сравнив с (85,2), мы увидим, что если получить выражение для <S (г).> в виде
<5 (r))= —HU (г), .
то функция U (г) и будет искомой энергией взаимодействия атомов.
Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновением не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые в промежуточных состояниях могут быть возбуждены), обычные формальные правила диаграммной техники здесь непосредственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения для 5-оператора в виде разложения (72,10).
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed